Zeigen Sie, dass die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren aufeinander orthogonal stehen!

Question

Aufgabe:Gegeben ist die Matrix

A=( 3 -2

     -2 0)

b) Zeigen Sie, dass die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren aufeinander orthogonal stehen!

c)Zeigen Sie, dass für die aus normierten Eigenvektoren gebildete Matrix E gilt:

   E’=E^-1

d)Geben Sie die zur Matrix A gehörende quadratische Form in Skalaform an!

e) Bestimmen Sie die Definitheit der Matrix A mit Eigenwerten und mit Hauptminoren!

Problem/Ansatz: Ich hab das als Hausübung, aber ich weiss nicht wie man das macht!

Ich hab die Eigenwerte gefunden, λ1=-1 λ2=4, wenn das richtig ist und dann die Eigenvektoren.(auch gefunden) Aber mit den restlichen Aufgaben habe ich schon ein Problem!

Answer 1

Hallo

a) einfach Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, dann das Skalarprodukt der 2 Eigenvektoren bilden, wenn es 0 ist sind sie orthogonal.

deine EW sind richtig

b) dann die EV normieren (durch ihren Betrag teilen) und E'=E^-1 nachrechnen

c) nachsehen, was die quadratische Form ist!

d) Definitheit nachsehen.

Du musst dich mit den Definitionen vertraut machen

Comments

Wie bilde ich das Skalaprodukt der 2 Eigenvektoren?

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Hallo

(a,b)*(c,d)=ac*bd

hattet ihr das wirklich nicht?

alternativ, bestimme die Steigung der 2 Vektoren m1=b/a und m2=d/b. 2 Steigungen sind senkrecht zueinander, wenn m1=-1/m2

Gruß lul

Answer 2

Deine Eigenwerte sind korrekt.

Was aber ist E'?

Comments

Was aber ist E'?

damit ist sicher die Transponierte gemeint. \(E' := E^T\)

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Hallo

E'=E^T ist die an der Hauptdiagonalen gespiegelt Matrix.

du musst also die Gespiegelt Matrix mit der ursprünglichen multiplizieren um die Einheitmatrix zu bekommen.

lul