Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig - ohne Induktion beweisen

Question

Aussage:

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig

Mein Beweis:

Angenommen die Matrix A besitzt n∈ℕ Eigenwerte λ₁,...,λ_n mit den zugehörigen EIgenvektoren v₁,..,v_n.

Angennommen die Eigenvektoren sind linear abhängig, dann existieren Koeffizienten a₁,..,a_n-1 mit:

$$v_n=\sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot v_k$$

Nun gilt jedoch: $$ \lambda_n v_n=A(v_n)=A(\sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot v_k)=\sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot A(v_k)=\sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot \lambda_k v_k (i)$$

Es gilt aber insbesondere auch:

$$ \lambda_n v_n=\lambda_n \cdot \sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot v_k= \sum \limits_{k=1}^{n-1}\lambda_n \cdot a_k \cdot v_k(ii)$$

Aus einem Koeffizientenvergelch von (i) und (ii) kann man folgern: $$ \lambda_n \cdot a_k =a_k \cdot \lambda_k\Rightarrow \lambda_n =\lambda_k $$

für alle k∈{1,...,n-1}.

Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass die Eigenwerte zu den Eigenvektoren verschieden sind, somit muss die Annahme, dass die Eigenvektoren linear abhängig sind falsch sein.

Die Eigenvektoren müssen somit linear unabhängig sein.

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Frage:

Im Internet wird dieser beweis meisten mit Induktion geführt, deswegen frage ich mich, ob mein Beweis hinreichend ist?

Answer 1

Hallo :-)

Ich sehe in deinem Ansatz das Problem, beim Versuch einen Koeffizientenvergleich zu machen.

Ich betrachte mal beide Gleichungen:

1.) \(\lambda_n\cdot v_n=\sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot \lambda_k\cdot v_k \)

2.) \(\lambda_n\cdot v_n= \sum \limits_{k=1}^{n-1}\lambda_n \cdot a_k \cdot v_k\)

Davon betrachte ich jetzt die Differenz:

$$ 0=\lambda_n\cdot v_n-\lambda_n\cdot v_n=\left( \sum \limits_{k=1}^{n-1}a_k \cdot \lambda_k\cdot v_k\right)-\left(\sum \limits_{k=1}^{n-1}\lambda_n \cdot a_k \cdot v_k\right)=\sum \limits_{k=1}^{n-1}(\lambda_k -\lambda_n) \cdot a_k \cdot v_k (*)$$

Nun ist deine Annahme, dass \(v_1,...,v_n\) linear abhängig sind. Das ganze verdeutlichst du hier, indem du zwei verschiedene Darstellungen von \(\lambda_n\cdot v_n\) erstellt hast. Das Problem ist jetzt, dass man aus (*) nicht allgemein sagen kann, ob für den Koeffizient \((\lambda_k-\lambda_n)\cdot a_k=0\) für alle \(k=1,...,n-1\) gilt. Denn mit linear abhängigen Vektoren lässt sich der Nullvektor auch nichttrivial darstellen. Außerdem hast du bei \((\lambda_k-\lambda_n)\cdot a_k=0\) nochmals \(\lambda_k-\lambda_n=0\) und \(a_k=0\) einzeln zu unterscheiden. Da du nach Voraussetzung verschiedene Eigenwerte hast, kann man schonmal \(\lambda_k-\lambda_n=0\) für alle \(k=1,...,n-1\) ausschließen und es gilt \(\lambda_k-\lambda_n\neq 0\). Das Ärger bleibt also bei den \(a_k\) hängen.