Eigenvektoren linear unabhängig, Matrix diagonalisierbar

Question

Genau dann ist \(A\) diagonalisierbar, wenn es ein linear unabhängiges Tupel \((s_1, \dots, s_n)\) in \(K^{n \times 1}\) derart gibt, dass \(s_i\) für alle \(i \in [1, n]\) ein Eigenvektor von \(A\) ist.

Bei der Aufgabe war ich mir unsicher. Es gilt doch normalerweise:

Behauptung:

Wenn man linear unabhängige Eigenvektoren hat, dann ist die Matrix diagonalisierbar.

ABER: Ist mit der Aussage denn genau das gemeint, was ich als Behauptung geschrieben habe.

Comments

Bist du sicher, dass du die Frage korrekt formuliert hast? Was soll $$K^{nx1}$$ bedeuten? Ist das dasselbe wie $$K^n?$$

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Matrizen mit n Zeilen und 1 Spalte.

Answer 1

Das Tupel bildet doch eine Basis von K^n  und A ist eine nxn Matrix.

Dann stimmt es.

Comments

Also gilt die Aussage nicht?

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Doch, sie stimmt.