Beweis der linearen Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Question

Seinen V ein Vektorraum, f: V -> V ein linearer Endomorphismus und v₁, ... , v_n ∈ V Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten. Zeigen Sie, v₁, ... , v_n sind linear unabhängig.

Comments

Ist das nicht so das linear abhängige Vektoren immer den gleichen Eigenwert haben ?

Wenn die Vektoren also paarweise verschiedene Eigenwerte besitzen, besitzen sie auch paarweise linear unabhängige Vektoren.

Eigentlich klingt die Antwort zu simpel, deswegen vorerst nur als Kommentar.

Was sagen die Leute dazu die sich besser mit Eigenwerten und Eigenvektoren auskennen.

---

Ist das nicht so das linear abhängige Vektoren immer den gleichen Eigenwert haben ?

Naja, wenn Du im $\mathbb{R}^2$ 10 Vektoren nimmst, dann sind die linear abhängig, dürften aber nur selten den gleichen Eigenwert haben.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Hallo,

Beweis mit vollständiger Induktion über $n\geq 1$:

1. Für $n=1$ ist die Behauptung trivialerweise wahr.

2. Ind.annahme: sei die Behauptung für ein $n\geq 1$ bereits bewiesen.

3. Induktionsschritt:

Es sei $\lambda_1,\cdots,\lambda_{n+1}$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $f$ und $$c_1v_1+\cdots+c_nv_n+c_{n+1}v_{n+1}=0\quad(1)$$ mit Skalaren $c_1,\cdots,c_{n+1}$.

Wenn wir hierauf $f$ anwenden, erhalten wir$$c_1\lambda_1v_1+\cdots+c_n\lambda_nv_n+c_{n+1}\lambda_{n+1}v_{n+1}=0\quad(2)$$Nun multiplizieren wir die Gleichung $(1)$ mit $\lambda_{n+1}$
und erhalten$$c_1\lambda_{n+1}v_1+\cdots+c_n\lambda_{n+1}v_n+c_{n+1}\lambda_{n+1}v_{n+1}=0\quad(3)$$
Subtrahiert man $(2)$ von $(3)$, so ergibt sich$$c_1(\lambda_{n+1}-\lambda_1)v_1+\cdots+c_n(\lambda_{n+1}-\lambda_n)v_n=0$$Nach Induktionsannahme sind $v_1,\cdots,v_n$ linear unabhängig, woraus
$$c_1(\lambda_{n+1}-\lambda_1)=\cdots=c_n(\lambda_{n+1}-\lambda_n)=0$$folgt, also wegen der paarweisen Verschiedenheit der $\lambda_i$:$$c_1=\cdots=c_n=0$$$c_{n+1}=0$ ergibt sich dann aus $(1)$.

Gruß ermanus

Comments

Grüße dich, vielleicht geht dieser Kommentar unter, aber kann mir jemand sagen warum die Anwendung von f dafür sorgt, dass lambda in der Linearkombination auftaucht ? Bzw. wenn f unser Endomorphismus ist, warum sorgt er dafür, dass Lambda in der Linearkombination auftaucht ?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!

---

Ach nevermind, die Definition von f ist f(v)= Lambda*v, daher kommt das. Alles in Ordnung also.

---

Das ist nicht die Definition von f, sondern die Definition eines Eigenvektors.

---

Was ist mit dem Fall λ_n+1 = 0 ?