Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion
$$ f(x, y)=\mathrm{e}^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y $$
a) Bilden Sie sämtliche partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung von \( f(x, y) \)
b) Geben Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion an.
c) Untersuchen Sie \( f \) auf Extrema. Handelt es sich um Maxima, Minima oder Sattelpunkte?
d) Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion \( f(x, y) \) im Punkt \( (2,1) \) bis zur zweiten Ordnung.
Ich habe folgende Gleichungen herausbekommen und bitte um Kontrolle:
(a)
1. Ableitung: \( \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right)=-2 e^{-(x-2)^{2}}(x-2) \)
2. Ableitung: \( \frac{d}{d x}\left(-2 e^{-(x-2)^{2}}(x-2)\right)=2 e^{-(x-2)^{2}}\left(2 x^{2}-8 x+7\right) \)
(b)
\( \left(\begin{array}{cc}{\frac{\partial^{2}\left(e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right)}{\partial x^{2}}} & {\frac{\partial^{2}\left(e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right)}{\partial x \partial y}} \\ {\frac{\partial^{2}\left(e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right)}{\partial y \partial x}} & {\frac{\partial^{2}\left(e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right)}{\partial y^{2}}}\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccc}{4 e^{-(x-2)^{2}}(x-2)^{2}-2 e^{-(x-2)^{2}}} & {0} \\ {0} & {-2}\end{array}\right) \)
c)
\( \max \left\{f(x, y)=e^{-(x-2)^{2}}-y^{2}-3 y\right\}=\frac{13}{4} \) at \( (x, y)=\left(2,-\frac{3}{2}\right) \)
