Auf extremum überprüfen und welches

Question

Aufgabe:

Auf Extremum überprüfen …

\( \begin{aligned} \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial x} f(x, y) &=\frac{(-1) \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}-x \cdot \frac{-x}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}}{16-x^{2}-y^{2}} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial y} f(x, y) &=\frac{-1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{16-x^{2}-y^{2}})^{2}} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} f(x, y) &=\frac{-x y}{\left(16-x^{2}-y^{2}\right)^{3}} \end{aligned} \)
Problem/Ansatz:

Die Punkte (0,0) erfüllen die Bedienung für die Extremstellen, aber wie überprüfe ich bei dieser Aufgabe ob ein Extremum vorliegt …

Eigentlich würde ich solche aufgaben über die Hesse Matrix lösen, aber bei diesen Aufgaben fällt es mir gerade echt schwer.

Answer 1

Aloha :)

Wenn man in die zweiten Ableitungen den Punkt \((x,y)=(0,0)\) einsetzt bekommt man:$$\frac{\partial^2}{\partial x\partial x}=-\frac{\sqrt{16}}{16}=-\frac{1}{4}$$$$\frac{\partial^2}{\partial y\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{16}}=-\frac{1}{4}$$$$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=0$$Daher lautet die Hesse-Matrix am Punkt \((0,0)\):\(\quad H(0,0)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4} & 0\\ 0 & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}\). Für die Unter-Matrizen gilt:$$\operatorname{det}\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}<0\quad;\quad\operatorname{det}\begin{pmatrix}-\frac{1}{4} & 0\\ 0 & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}=\frac{1}{16}>0$$Daher ist die Hesse-Matrix bei \((0,0)\) negativ definit, sodass dort ein Maximum vorliegt.

Answer 2

Hallo

für x=y=0 ist die Hessematrix doch wirklich sehr einfach, wo liegt das Problem?

Comments

In den Lösungen steht (-1/4)*(-1/4) > 0

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Wie kommen die nur auf die -1/4

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hallo

x=y=0  _fxx=-4/16=-1/4 , f_yy=-1/4  f_xy=0 (mit √16=4)

wieso kannst du x=y=0 nicht in die Ableitungen einsetzen?

lul