Extrema dreidimensionaler Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y, z):=x+y+y z-y^{2}-z^{2}-2 x^{4} \)

Problem/Ansatz:

HAT SICH ERLEDIGT!

Ich habe als kritischen Punkt P( 1/2 | 2/3 | 1/3 ) raus. Wenn ich das in die Hesse-Matrix

-24x^2	0	0
0	-2	1
0	1	-2

einsetze, erhalte ich die Matrix

-6	0	0
0	-2	1
0	1	-2

Die Determinante davon ergibt -18, wodurch die Matrix indefinit wäre und der kritische Punkt ein Sattelpunkt, jedoch weiß ich durch Andere, dass dort anscheinend ein Hochpunkt bzw. Maximum rauskommen muss, weshalb ich irgendwo einen Fehler gemacht haben muss.

Kann mir Jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Den kritischen Punkt hast du korrekt berechnet.

Die Hauptminoren der Hesse-Matrix sind:$$-6\quad;\quad\begin{vmatrix}-6 & \phantom-0\\\phantom-0 & -2\end{vmatrix}=12\quad;\quad\begin{vmatrix}-6 & \phantom-0 & \phantom-0\\\phantom-0 & -2 & \phantom-1\\\phantom-0 & \phantom-1 & -2\end{vmatrix}=-18$$Sie folgen dem Schema \((-+-)\), sodass die Hessematrix negativ definit ist.

Daher liegt an dem kritischen Punkt ein Maximum vor.