Lokale Extremstellen für mehrdimensionale Funktionen

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch \( f(x, y)=(y-8) x^{2}-y^{2} \).

(a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von \( f \).
(b) Untersuchen Sie, ob \( f \) globale Extremstellen besitzt.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Kandidaten für die Nullstellen der Funktion$$f(x;y)=(y-8)x^2-y^2$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{(y-8)2x}{x^2-2y}$$Aus der 1-ten Koordinatengleichung folgt \(y=8\) oder \(x=0\).

Aus der 2-ten Koordinatengleichung folgt dann:$$y=8\implies 0\stackrel!=x^2-2y=x^2-16\implies x^2=16\implies x=\pm4$$$$x=0\implies 0\stackrel!=x^2-2y=0-2y\implies y=0$$

Wir haben drei Kandidaten für Extrema erhalten:$$P_1(-4|8)\quad;\quad P_2(4|8)\quad;\quad P_3(0|0)$$

Wir prüfen die Kandidaten mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}2(y-8) & 2x\\2x & -2\end{pmatrix}$$$$H_1(-4|8)=\begin{pmatrix}0 & -8\\-8 & -2\end{pmatrix}\implies\text{EW: } (-1-\sqrt{65})<0\;;\;(\sqrt{65}-1)>0\implies\text{indefinit}$$$$H_2(4|8)=\begin{pmatrix}0 & 8\\8 & -2\end{pmatrix}\implies\text{EW: } (-1-\sqrt{65})<0\;;\;(\sqrt{65}-1)>0\implies\text{indefinit}$$$$H_3(0|0)=\begin{pmatrix}-16 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}\implies\text{EW: } -16<0\;;\;-2<0\implies\text{negativ definit}$$

\(P_1(-4|8)\) und \(P_2(4|8)\) sind also Sattelpunkte.

\(P_3(0|0)\) ist ein lokales Maximum.

zu b) Das ermittelte lokale Maximum beim Punkt \((0|0)\) beträgt: \(\quad f_{\text{max}}(0;0)=0\)

Wegen \((\;f(10;9)=1\cdot10^2-9^2=19>0\;)\) handelt es sich jedoch nicht um das globale Maximum.

Answer 2

Bilde die beiden partiellen Ableitungen, setze beide gleich 0 und löse das entstandene Gleichungssystem.