erzeugende multiplikative gruppe

Question

Aufgabe:

Sei K := F_3[t]/(t^2 + 1)F_3[t] der Körper mit 9 Elementen. Bestimmen Sie alle
Erzeugende der multiplikativen Gruppe K^* des Körpers K

Problem/Ansatz:

wie estimmt man das

Answer 1

Sei \(s\) die Klasse von \(t\) mod \((t^2+1)\). Dann haben die Elemente von \(K\)

die Form \(a+bs\) mit \(a,b\in \{-1,0,1\}\) und \(s^2=-1\).

Man erkennt leicht, dass \(1,-1,s,-s\) nicht ganz \(K^*\) erzeugen,

bleiben also noch \(1+s,\; 1-s,\; -1+s,\; -1-s\).

Sei \(u=1+s\), dann gilt

\(u^1=1+s,\; u^2=-s, \; u^3=1-s, \; u^4=-1\) und daher

\(u^5=-1-s, \; u^6=s, \; u^7=-1+s, \; u^8=1\).

\(u=1+s\) erzeugt also \(K^*\).

Damit erzeugen auch \(u^3=1-s, \; u^5=-1-s, \; u^7=-1+s \) diese Gruppe,

da die Exponenten 3,5,7 teilerfremd zur Gruppenordnung 8 sind.