Die Gruppe (Z15,+) ist zyklisch. Wie viele erzeugende Elemente gibt es für diese Gruppe? Finden Sie alle diese Elemente.

Question

Hi, 

Die Gruppe (Z15,+) ist zyklisch. Wie viele erzeugende Elemente gibt es für diese Gruppe? Finden Sie alle diese Elemente. 

Verlangt die Aufgabe, dass ich noch an einem Element zeige, wie die Zahlen damit erzeugt werden d.h. die Gruppe zyklisch ist. 

Zb.: bei der 4

0 1 2 3 4 5 6  7     8   9 10 11 12  13  14

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14  0    1  2    3 

Zweite Frage:

Erstmal kann ich Φ(15) ausrechnen = 8 , weil die Primfaktorzerlegung ergibt: 3*5 =15 und Φ(3)=2 *Φ(5)=4

Es gibt also in (Z15) 8 erzeugende Elemente, die den ggT (Element,15)= 1 haben. 

Die Elemente sind hier überschaubar (1,2,4,7,8,11,13,14). 

Kann ich die erzeugenden Elemente nur mit dem euklidischen Algorithmus testen oder wie könnte ich auf die expliziten Elemente kommen, wenn Z eine größere Zahl wäre? 

Answer 1

Die Gruppe (Z15,+) ist zyklisch. Wie viele erzeugende Elemente gibt es für diese Gruppe? Finden Sie alle diese Elemente. 

Verlangt die Aufgabe, dass ich noch an einem Element zeige, wie die Zahlen damit erzeugt werden ?

Nein, das ist nicht zwingend. Du sollst aber alle erzeugenden Elemente von Z_(15) angeben. Also nicht nur z=4, sondern alle . Wenn du etwas Theorie zur Verfügung hast, kannst du ohne Angabe der Tabelle die gesuchten Elemente von (Z_(15,+)) aufzählen.

Es gibt also in (Z15) 8 erzeugende Elemente, die den ggT (Element,15)= 1 haben. 

Die Elemente sind hier überschaubar {1,2,4,7,8,11,13,14}. 

Benutze Mengenklammern. Dies beiden Zeilen genügen.

wenn bei Z eine größere Zahl wäre? 

Gehe gleich vor, wie eben und begründe mit einer Faktorzerlegung und ggT,  (vorausgesetzt, dass du die Theorie benutzen darfst). etwas Kopfrechnen dürfte erlaubt sein.