Nennerpolynom bestimmen, Polstelle, Asymptote vorhanden

Question

Bestimmen Sie das Nennerpolynom \( N(x) \) vom Grad 2 in \( f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-4 x+4}{N(x)} \) so, dass \( x_{0}=1 \) eine Nullstelle des Nennerpolynom \( N(x) \) ist und \( y_{A s}(x)=x+5 \) die Asymptote im Unendlichen ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung wie man N(x) bestimmt. Ich weiß zwar, dass die Nullstelle (x-1) eine Polstelle ist sowie, dass wenn ich den Zähler mit N(x) per Polynomdivision teile die Asymptote im Unendlichen x+5 heraus kommt, doch ich komme einfach nicht drauf.

Answer 1

Du könntest eine Polynomdivision durchführen oder auch \((x+5)\cdot (x^2+bx+c)\) ausmultiplizieren.

Answer 2

Hallo

N(x)=(x-1)(x+b)=x²+(b-1)x-b

(x³-x²-4x+4)/(x²+(b-1)-b)=x+5+ r/N(x)

:-)

Answer 3

(x^3 - x^2 - 4·x + 4)/(x - 1) = x^2 - 4

(x^2 - 4)/(a·x + b) = 1/a·x - b/a^2 + ((b/a)^2 - 4)/(a·x + b)

Koeffizientenvergleich

1/a = 1 → a = 1

- b/1^2 = 5 → b = -5

Damit ist die Funktion

f(x) = (x^3 - x^2 - 4·x + 4)/((x - 1)·(x - 5))

N(x) = (x - 1)·(x - 5) = x^2 - 6·x + 5