Ich fange gerade an, Mathe in einem Nebenmodul theoretischer zu lernen, aber komme nicht so ganz mit den Erklärungen/Aufzeichnungen meines Dozenten klar.
Also hier sind drei unserer Aufgaben, bei denen ich ganz gerne etwas Hilfe hätte:
1.
Text erkannt:
(4 P.) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Sie dürfen Schulkenntnisse über das Lösen quadratischer Gleichungen benutzen.
a) \( \forall x \in \mathbb{Q}: x=0 \vee x=1 \vee \frac{1}{x} \neq x \)
b) \( \forall x \in \mathbb{N}: x=0 \vee x=1 \vee \frac{1}{x} \neq x \)
c) \( \forall x \in \mathbb{Z}: \exists y \in \mathbb{Z}: x<y \)
d) \( \exists y \in \mathbb{Z}: \forall x \in \mathbb{Z}: x<y \)
Die wörtlichen Bedeutungen denke ich lauten wie folgt:
a) Alle rationalen Zahlen x sind entweder x gleich 0 oder x gleich 1 ist oder 1/x ist nicht gleich x.
b) Alle natürlichen Zahlen x sind entweder x gleich 0 oder x gleich 1 ist oder 1/x ist nicht gleich x.
c) Für alle ganzen Zahlen x existiert eine ganze Zahl y, die größer ist als x.
d) Es gibt eine ganze Zahl y, die größer ist als jede ganze Zahl x.
Bei d) glaube ich, dass die Aussage nicht stimmt, da es keine ganze Zahl gibt, die größer ist als alle anderen ganze Zahlen. Bei den anderen bin ich mir aber nicht sicher, wie ich sie bewerten kann.
2.
Text erkannt:
Wie immer gehört zur Lösung der Nachweis, dass Ihre Antwort stimmt.
a) (2 P.) Negieren Sie, , \( \forall x \in \mathbb{N}: x=0 \vee x=1 \vee \frac{1}{x} \neq x^{\prime \prime} \); dabei darf im Ergebnis zwar das Symbol " \( \neq " \), aber nicht das Symbol ", " vorkommen.
b) (3 P.) Seien \( P, Q \) und \( R \) Aussageformen.
Negieren Sie , \( \exists y: \forall x: R(x, y) \Rightarrow(P(x) \wedge Q(y))^{\text {“; }} \), dabei darf im Ergebnis das Symbol,\( \neg " \) nur unmittelbar vor \( P, Q \) bzw. \( R \) stehen.
3.
Text erkannt:
a) (2 P.) Beweisen Sie: \( \exists ! x \in \mathbb{Q}: \forall y \in \mathbb{Q}: x \cdot y=y \). Sie dürfen dafür Thre Schulkenntnisse der Grundrechenarten in \( \mathbb{Q} \) verwenden. Hinweis: Sie könnten zunächst zeigen, dass es ein \( x \) mit den gesuchten Eigenschaften gibt, und danach zeigen, dass keine andere als die von Ihnen gefundene Zahl die gesuchte Eigenschaft hat.
b) (1 P.) Gilt \( \forall y \in \mathbb{Q}: \exists ! x \in \mathbb{Q}: x \cdot y=y \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Bei 2. und 3. weiß ich um ehrlich zu sein gar nicht so recht weiter. Auch sein Hinweis bei 3. hilft mir nicht, da ich nicht weiß, wie man den Beweis für die Existenz von x mit den Eigenschaften liefert.
Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte :]
