a) Die Aussage bedeutet: es existieren ganze Zahlen x, y, z, sodass x+2y≠z gilt. Das ist wahr, sind x und y beliebige Zahlen a und b, dann kann z beliebig aus ℤ\{a+2b} gewählt werden.
b) Die Aussage bedeutet: für alle ganzen Zahlen x und z existiert mindestens eine ganze Zahl y, sodass 4x+2y = 2z gilt. Das ist wahr, denn sei x=a und z=b beliebige ganze Zahlen, dann wählt man y = b-2a und erhält eine wahre Aussage. Wichtig ist dabei, dass ℤ auch die negativen ganzen Zahlen enthält.
c) Die Aussage bedeutet: Für alle rationalen Zahlen x und z existiert mindestens eine rationale Zahl y, sodass x*y=z gilt. Die Aussage ist wahr, seien x=a, z=b beliebige rationale Zahlen, dann wählt man y = b/a, was immer noch eine rationale Zahl ist und die Gleichung ist erfüllt.
d) Die Aussage bedeutet: Für alle natürlichen Zahlen x und z existiert mindestens eine natürliche Zahl y, sodass x+y=z gilt.
Diese Aussage ist falsch! Falls z<x ist, dann gibt es keine solche natürliche Zahl. Laut Aufgabenstellung müssen wir die Aussage negieren und die Wahrheit der Negation zeigen:
¬∀x ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ P(x, y, z)
⇔ ∃x ∈ ℕ ¬∀z ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ P(x, y, z)
⇔ ∃x ∈ ℕ ∃z ∈ ℕ ¬∃y ∈ ℕ P(x, y, z)
⇔ ∃x ∈ ℕ ∃z ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ¬P(x, y, z)
Das bedeutet: Es existiert mindestens ein Paar natürlicher Zahlen (x, z) sodass für alle natürlichen Zahlen y gilt: x+y≠z
Wählt man zum Beispiel x = 2 und z = 1, dann müsste gelten:
2 + y = 1 |-2
y = -1
Das ist aber keine natürliche Zahl!
e) Die Aussage bedeutet: Für alle natürlichen Zahlen x und z existiert mindestens eine natürliche Zahl y, sodass x größer als z ist oder die Aussage x+y=z gilt.
Tatsächlich sind jetzt genau die Fälle dazugekommen, die wir in d) ausgeschlossen haben, diese Aussage ist wahr.
Sind nämlich x=a und z=b beliebig, dann muss damit P(x, y, z) gilt y=b-a gelten. Das ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn b>a, sonst ist aber die erste Bedingung schon erfüllt. Also wahr.