Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper!

Question

Der Graph der Funktion f, die Tangente an den Graphen im Punkt P und die beiden Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche. Diese rotiert um die x-Achse bzw. um die y-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper!

f(x)=3/5*x^2+3, P=(5|f(5))

Ich habe die Rotation um die x-Achse geschafft, aber wie geht‘s mit der y-Achse?

Answer 1

Aus y=0,6x²+3 folgt \(x= \pm\sqrt{\frac{y-3}{0,6}} \).

Beachte, dass auch die Tangentengleichung nach x umgestellt werden muss.

Comments

Danke, ich hab‘s geschafft!

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Wie du an meiner Skizze erkennen kannst interessiert der Schnittpunkt im negativen Bereich doch nicht, da das Flächenstück doch nur im I. Quadranten liegt und dieses ja um die x-Achse rotiert.

Answer 2

Man bildet zu beiden Funktionen die Umkehrfunktionen.

Dazu vertauscht man x und y der Funktionen und löst nach x auf. Beachte, dass es, wenn man die Wurzel zieht, zwei Äste gibt. Hier ist allerdings nur der positive Ast nötig, wie du auch an der Skizze erkennen kannst. Es ist immer hilfreich, sich selber eine Skizze anzufertigen.

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Hier nur Kontrollergebnisse mit Derive:

Rotation um die x-Achse.

∫(pi·(3/5·x^2 + 3)^2, x, 0, 5) - ∫(pi·(6·x - 12)^2, x, 2, 5) = 96·pi

Rotation um die y-Achse

∫(pi·(x/6 + 2)^2, x, 0, 18) - ∫(pi·(√(15·x - 45)/3)^2, x, 3, 18) = 46.5·pi

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Danke schön!!!

Answer 3

Aloha :)

Die Tangente an den Graphen von$$y_1(x)=\frac35x^2+3$$im Punkt \((5|f(5))\) lautet:$$y_2(x)=f(5)+f'(5)\cdot(x-5)=\left(\frac35\cdot5^2+3\right)+\frac65\cdot5\cdot(x-5)=6x-12$$Die Fläche zwischen \(y_1(x)\) und \(y_2(x)\) und den Koordinatenachsen soll rotieren.

~plot~ 3/5*x^2+3 ; 6x-12 ; {5|18} ; [[0|6|0|20]] ~plot~

1) Rotation um die x-Achse:

$$V_x=\int\limits_0^5\pi y_1^2\,dx-\int\limits_2^5\pi y_2^2\,dx=\int\limits_0^5\pi\left(\frac35x^2+3\right)^2dx-\int\limits_2^5\pi(6x-12)^2\,dx$$$$\phantom{V_x}=\cdots=420\pi-324\pi=96\pi$$

2) Rotation um die y-Achse:

$$V_y=\int\limits_{y_2(2)}^{y_2(5)}\pi x^2\,dy_2-\int\limits_{y_1(0)}^{y_1(5)}\pi x^2\,dy_1=\int\limits_2^5\pi x^2\,\frac{dy_2}{dx}\,dx-\int\limits_0^5\pi x^2\,\frac{dy_1}{dx}\,dx$$$$\phantom{V_y}=\int\limits_2^56\pi x^2\,dx-\int\limits_0^5\frac65\pi x^3\,dx=\cdots=234\pi-187,5\pi=\frac{93}{2}\pi$$

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Vielen Dank!!!