Aloha :)
Aus den gegebenen Kurven können wir 2 Funktionsgleichungen ablesen:$$y_1(x)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{12-3x^2}\quad;\quad(|x|\le2)$$$$y_2(x)=\pm\frac{3}{2}\sqrt x\quad;\quad x\ge0$$
Wir sollen die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen um die \(y\)-Achse rotieren, dazu benötigen wir die Schnittpunkte:$$\left.y_1(x)=y_2(x)\quad\right|\quad\text{einsetzen}$$$$\left.\pm\frac{1}{2}\sqrt{12-3x^2}=\pm\frac{3}{2}\sqrt x\quad\right|\quad\cdot2$$$$\left.\pm\sqrt{12-3x^2}=\pm3\sqrt x\quad\right|\quad\text{quadrieren}$$$$\left.12-3x^2=9x\quad\right|\quad\text{alles auf eine Seite bringen}$$$$\left.3x^2+9x-12=0\quad\right|\quad\text{faktorisieren}$$$$\left.3(x+4)(x-1)=0\quad\right.$$Wegen \(x\ge0\) schneiden sich die beiden Kurven bei \(x=1\). Die Situation stellt sich also wie folgt dar:
~plot~ 0,5*sqrt(12-3*x^2)*(x>=1) ; -0,5*sqrt(12-3*x^2)*(x>=1) ; 1,5*(x>=0)*(x<=1) ; -1,5*(x>=0)*(x<=1) ; 1,5*sqrt(x)*(x<=1) ; -1,5*sqrt(x)*(x<=1) ; [[-4|4|-2,5|2,5]] ~plot~
Wir sollen die zwischen den beiden Kurven eingeschlossene Fläche um die \(y\)-Achse rotieren. Dabei integrieren wir Kreise mit der Fläche \(\pi\,x^2\) entlang der \(y\)-Achse:
$$V=2\int\limits_{1}^{2}\pi\,x^2\,\left|\frac{dy_1}{dx}\right|\,dx-2\int\limits_{0}^{1}\pi\,x^2\,\left|\frac{dy_2}{dx}\right|\,dx$$$$\phantom V=2\int\limits_{1}^{2}\pi\,x^2\,\frac{3x}{2\sqrt{12-3x^2}}\,dx-2\int\limits_{0}^{1}\pi\,x^2\,\frac{3}{4\sqrt x}\,dx$$$$\phantom{V}=3\pi\int\limits_{1}^{2}\frac{x^3}{\sqrt{12-3x^2}}\,dx-\frac{3\pi}{2}\int\limits_{0}^{1}x^{3/2}\,dx$$$$\phantom{V}=3\pi\cdot3-\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{2}{5}=9\pi-\frac{6}{10}\pi=\frac{42}{5}\,\pi$$
