Bestimme die größte, negative Zahl x in Z, von x ≡ 11^1212 (mod 12)

Question

Aufgabe:

Bestimme die größte, negative Zahl x in Z, die folgende Kongruenzen erfüllt:
x ≡ 11¹²¹² (mod 12)
Löse die Probleme ohne Rechner und erläutere, welche Rechenregeln verwendet
wurden!

Problem/Ansatz:

x ≡ 11¹²¹² (mod 12)  => 11/12=0,916666667-1*12= -1 (Euklid. Algo.)
x ≡ 11 * 11 * 11 * 11  => x ≡ -1
dann rechne ich üblicherweise 12 und wie viel weniger ist dann -1, also -13
aber in der Lösung steht x ≡ -11, warum? Und welche Rechenregeln wurden da jetzt wirklich verwendet? Euklid. Algo nehme ich an, und beim Letzten?

Answer 1

Wegen 11≡ -1 mod 12 gilt nach Potenzieren

11¹²¹² ≡ (-1)¹²¹² ≡ 1 mod 12

Die größte negative Zahl, die kongruent zu 1 modulo 12 ist, ist -11.