Ganzrationale Funktion mit Parameter t: f(x)= (x-t)(x^2-5x-t) mit der x-Achse genau zwei Schnittpunkte.

Question

Wie geht das?

 

Gegeben ist die Funktion f(x)= (x-t)(x²-5x-t)

 

Wie muss t gewählt werden, dass das Schaubild mit der x-Achse genau zwei Schnittpunkte hat ??

 

Kann man dies mit der Formel b²-4ac lösen wenn ja wie ???

Answer 1

f(x)= (x-t)(x²-5x-t) 

Eine Nullstelle ist auf jeden Fall bei x=t.

Jetzt musst du dafür sorgen, dass der zweite Faktor g(x)= (x^2 - 5x - t) genau eine Nullstelle hat. Und diese nicht gerade bei x=t liegt.

Dazu muss b^2 -4ac = 0 gelten.

b = -5, c = -t

b^2 - 4ac = 25 + 4t = 0

25 =  -4t      |:(-4) 

-6.25 = t

Bitte selbst nachrechnen und z.B. mit dem Funktionsplotter testen. Beachte, dass ich in https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/ mit dem Faktor 10 stauchen musste. Die 8 und die 3,9... auf der y-Achse sind eigentlich 80 und 39,....

Comments

Bei t=0 hat die Funktion die doppelt Nullstelle x1=0 und eine einfache NST x3=5. Aber eigentlich gibt es kein t, für dass die Funktion 2 Schnittpunkte mit der x-Achse hat. Bei einer doppelten Nullstelle schneidet die Funktion die x-Achse nicht, sondern berührt sie.

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@sigma: Danke für die Ergänzung

Für t=0 hat man folgenden Graphen (wiederum mit Faktor 10 gestaucht)