Komplexe Zahl in trigonometrische Form bringen

Question

Aufgabe:

z = -\( \sqrt{3} \) +3*j in trigonometrische Form umwandeln mit Bogenmaß

Problem/Ansatz:

Wie man r berechnet ist mir klar und schaffe ich ohne Probleme, aber um den Winkel korrekt umzurechnen brauche ich Hilfe.

Ich gehe wie folgt vor:

tan ( \( \frac{3}{- \sqrt{3} } \) ) mit \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \) erweitern, sodass durch kürzen

tan (- \( \sqrt{3} \) ) herauskommt.

Dann schaue ich in meine Tabelle für die Wichtigsten Winkel und erhalte bei tan von \( \sqrt{3} \), pi / 3 und weil mein Ergebnis genau das in negativ ist denke ich dann, dass eben - pi / 3, was aber falsch ist.

Comments

https://www.mathe-seite.de/oberstufe/analysis-hoehere-mathematik/komplexe-zahlen/komplexe-zahlen-umrechnen/rechenbeispiel2/

Answer 1

arctan(3/(-√3)) = - pi/3

Aber Achtung: Das wäre der Winkel für arctan(-3/(√3)). Wir müssen, da wir uns im 2. Quadranten befinden. pi addieren.

- pi/3 + pi = 2/3·pi

Also ist die Exponentialform

2·√3·EXP(2/3·pi·i)

Comments

Ah ok, muss man bei Cosinus im 2ten und dritten Quadranten immer um Pi erweitern?

---

Ja. Beachte der arctan gibt ja nur Winkel im Bereich (-pi/2 ; pi/2). Also nur Winkel im 1. und 4. Quadranten. Hat deine Komplexe Zahl also einen negativen realen Anteil musst du pi = 180° addieren.

~plot~ atan(x);-pi/2;pi/2 ~plot~

---

Vielen Dank! :)