Du musst folgendes zeigen:
Wenn für jedes \(n\in \mathbb{N}\) und \(n\) beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen \(p_1,\dots,p_n\) gilt, dass
\([\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2\)
ist, dann ist die Menge \(\sqrt{\mathbb{P}} \coloneqq \{\sqrt{p}|\ p\text{ ist Primzahl}\}\) im \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\langle\mathbb{Q}\cup\sqrt{\mathbb{P}}\rangle\) linear unabhängig.
Ich würde da erst ein mal versuchen, einen direkten Beweis zu liefern. Das heißt:
Angenommen für jedes \(n\in \mathbb{N}\) und \(n\) beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen \(p_1,\dots,p_n\) gilt, dass
\([\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2\)
ist. Begründe, dass dann die Menge \(\sqrt{\mathbb{P}}\) im \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\langle\mathbb{Q}\cup \sqrt{\mathbb{P}}\rangle\) linear unabhängig ist.
Erst im nächsten Schritt werdet ihr dann vermutlich beweisen müssen, dass für jedes \(n\in \mathbb{N}\) und \(n\) beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen \(p_1,\dots,p_n\) gilt, dass
\([\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2\)
ist.
