Körpererweiterung von Q vom Grad 4

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Q({√2,√5}) eine Körpererweiterung von Q vom Grad 4 mit der Basis 1,√2,√5,√10 ist.

Problem/Ansatz:

√5 kein Element des Körpers Q(√2) ist ich weiß das ich zuwerst das beweisen muss weiß nicht wie ich das zeige und was die basis dann damit zu tun hat

Answer 1

Zeigen, dass √5 kein Element des Körpers Q(√2) ist:

Angenommen es sein so, dann gäbe es a,b ∈ℚ mit

a+b√2 = √5   #

==>  b√2 - √5 = -a ∈ℚ

Dann wäre auch ( b√2 - √5)^2 = a^2 ∈ℚ

==>  2b^2 - 2b√10 + 5  ∈ℚ

==>  - 2b√10   ∈ℚ

==> b=0   oder  √10  ∈ℚ   

Das erste erzeugt mit # den Widerspruch  a= √5 und a ∈ℚ

und das zweite , weil 10 keine Quadratzahl ist.

Das mit der Basis bekommst du hin, wenn du überlegst,

dass alle a+b√2 +c √5 in Q({√2,√5}) sein müssen, also

auch Produkte bzw. Potenzen von diesen.

Die kann man alle in der Form a+b√2 +c √5 + d√10 schreiben,

aber dabei auf keinen der 4 Summanden verzichten.