berechne Grad der Körpererweiterung Q(α, β)/Q

Question

Man berechne den Grad der Körpererweiterung Q(α, β)/Q mit
α⁵ + 15α² − 221α + 6 = 0 und β ∈ C \ {−1}, so das β⁷ = −1

Hallo, ich hab schon Porbleme dabei die Nullstelle α zu berechnen.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

Comments

Du musst die Nullstelle α nicht berechnen, sondern

prüfen, ob das Polynom, dessen Nullstelle α  sein soll,

irreduzibel über Q ist.

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Also muss ich zeigen, dass α⁵ + 15α² − 221α + 6  irreduzibel über Q ist?

Und woher weiß ich dann was der Grad der Körpererweiterung ist?

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Der Grad einer einfachen algebraischen Körpererweiterung entspricht dem Grad des Minimalpolynoms.

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Der Grad einer einfachen Körpererweiterung ist der

Grad des irreduziblen Polynoms des erzeugenden Elementes.

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Habe mir von

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/faktorpolynom.htm

zuflüstern lassen, dass das Polynom

\(X^5+15X^2-221X+6\) über den rationalen Zahlen

irreduzibel ist.

Hat jemand ein gutes Irreduzibilitätsargument ?

Oder ist es erlaubt ein CAS zu verwenden?