Körpererweiterung Matrizen

Question

Aufgabe:

ich weiß dass man eine Körpererweiterung konstruieren kann, damit eine Matrix trigonalisierbar wird. Jedoch weiß ich leider nicht wie man dabei vorgehen muss. Was ist zu tun?

Comments

über welchem Körper soll denn die Matrix gegeben sein?

lul

Answer 1

Eine Matrix ist trigonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom über dem betrachteten Körper in Linearfaktoren zerfällt.

Wenn du also eine Matrix mit Einträgen im Körper K hast, musst du nur einen Erweiterungskörper L|K finden, in welchem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ein geeigneter Kandidat für L ist also der Zerfällungskörper des charakteristischen Polynoms.

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Nehmen wir zum Beispiel mal die Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

über dem Körper \( K = \mathbb{Q} \). Ihr charakteristisches Polynom ist

$$ \chi_A = t^2 - 2 $$

und zerfällt über \( \mathbb{Q} \) offensichtlich nicht in Linearfaktoren. Die Nullstellen sind \( \alpha_1 = \sqrt{2} \) und \( \alpha_2=-\sqrt{2} \). Der Zerfällungskörper entsteht durch Adjunktion der Nullstellen:

$$ L = K(\alpha_1,\alpha_2) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $$

Über diesem ist die Matrix dann trigonalisierbar (hier sogar diagonalisierbar).