Wahl der offenen Menge in Sätzen und Definitionen der Analysis

Question

Hallihallo,

mir ist aufgefallen, dass es in der Analysis ständig vorkommt, dass man in Sätzen und Definitionen offene Mengen wählt. In diesen Kontexten ist mir selten ganz klar, wieso das so ist. Als Bsp. nehme ich mal den Satz über implizite Funktionen.

Ich möchte wissen, ob man relativ allgemein sagen kann, was die offene Menge so vorteilhaft macht bzw. aus welchem Grund man sie so oft wählt (oder in welchem Kontext). Ich möchte auf Eigenschaften und Vorteile hinaus, die natürlich nicht immer die Gründe für die Wahl sein müssen, jedoch häufig die Gründe sind.

Mir ist bewusst, dass es darauf vielleicht keine pauschale Antwort gibt. Aber eventuell ja doch.

Lieben Dank

Answer 1

Mit offenen Mengen schließt man eventuelle kritische Randstellen aus (z.B. Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist).

Comments

Hallo abakus,

anhand deiner Antwort habe ich ein Beispiel bzgl. kritischer Stellen konstruiert. Verdeutlicht dieses, was du meinst?

- angenommen ich möchte einen Satz formulieren, für den ich als Voraussetzung brauche, dass: f(x₀) ist Minimum/Maximium => f'(x₀) = 0, wobei f stetig ist

- mit einer abgeschlossenen Menge kann ich das nicht garantieren. Die Randpunkte können ggf. min/max Werte annehmen ohne dass die Ableitung an der Stelle gleich 0 ist.

- mit einer offenen Menge kann das nicht passieren, da der Randpunkt x₀ nicht zum Definitionsbereich gehört