Wie bestimmt dem offenen Kern, Abschluss und Rand der gegebenen Menge?

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left\{(x, y) \in[0,1]^{2}: x \neq \frac{1}{n}\right. \) für alle \( \left.n \in \mathbb{N}\right\} \) und \( B=A \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\frac{3}{n}, \frac{3}{n}\right)\right\} \). Bestimmen Sie \( B^{\circ}, \bar{B} \) und \( \partial B \).

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht so ganz, wie die beiden Mengen aussehen, um wenigstens einschätzen zu können, welche Anteile davon der Abschluss oder Kern sind. Kann mir Jemand da beim Verständnis weiterhelfen?

Hier sind die entsprechenden Definitionen über die gefragten Anteile von B:

Offene Kern: Sei \( X \) ein topologischer Raum und \( \Omega \subset X \) eine beliebige Teilmenge. Dann heißt:
\( \Omega^{o}:=\left(\overline{\Omega^{c}}\right)^{c} \)

der offene Kern von \( \Omega \).
Der offene Kern ist (als Komplement einer abgeschlossenen Menge) offen und in \( \Omega \) enthalten. Ist \( \Omega \) offen, so ist \( \Omega=\Omega^{\circ} \).

-> Alternativ: der offene Kern ist auch die Vereinigung aller offener Teilmengen

Abschluss: Sei \( X \) ein topologischer Raum und \( \Omega \subset X \) eine beliebige Teilmenge. Dann heißt der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die \( \Omega \) enthalten, der (topologische) Abschlue \( \beta \) von \( \Omega \). Man schreibt dafiir \( \bar{\Omega} \).

Alternativ: \( \bar{A}=\left\{x \in X\right. \) : es gibt eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset A \) mit \( x_{n} \rightarrow \) \( x(n \rightarrow \infty)\} \)

Der Rand ist dann am leichtesten zu bestimmen, wenn man die beiden obigen Anteile kennt:

Sei \( X \) ein topologischer Raum und \( \Omega \subset X \) eine beliebige Teilmenge. Dann heirt
\( \partial \Omega:=\bar{\Omega} \backslash \Omega^{o} \)
der (topologische) Rand von \( \Omega \).
Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.

Answer 1

Hallo,

versuche am besten erstmal nur die Menge \(A\) zu verstehen. Diese ist ja das Quadrat \([0,1]^2\subseteq\mathbb{R}^2\) aus dem man für jedes \(n\in\mathbb N\) die vertikale Gerade \(\{\frac{1}{n}\}\times[0,1]\) entfernt. Hier mal eine kleine Skizze:

Zu \(A\) gehört also die ganze Fläche innerhalb des grünen Quadrats (inklusive des grünen Rands) minus die roten Geraden (von denen es natürlich \(\infty\)-viele gibt). Insbesondere gehören auch die Schnittpunkte der roten Geraden mit den grünen Quadrat nicht mehr zu \(A\).
Wie sehen jetzt \(A^\circ,\,\bar A,\,\partial A\) aus?

\(\bar A\) ist nicht allzu schwer. (Hast du eine Idee?)

Für \(A^\circ\) möchte ich noch eine weitere Charakterisierung des Inneren einer Menge angeben, die ich oftmals am anschaulichsten finde: Seinen also \(X,\,\Omega\) wie bei dir oben, dann ist $$\Omega^\circ=\left\{x\in\Omega\,|\,\Omega \,\text{ist Umgebung von }x\right\}$$Wir sind hier ja im \(\mathbb R^2\) und da ist \(\Omega\) eine Umgebung von \(x\) gdw. es ein \(\varepsilon>0\) gibt, sodass \(B_\varepsilon(x)\subseteq\Omega\) ist (dabei ist \(B_\varepsilon(x)\) die offene Kugel um den Punkt \(x\) mit Radius \(\varepsilon\)).
Anschaulich gehören also alle Punkte \(a\) aus \(A\) zu \(A^\circ\) für die du noch einen kleinen Kreis um \(a\) finden kannst, der vollständig in \(A\) liegt. Siehst du welche Punkte das (nicht) sind?

Wie du schon gesagt hast, ist dann \(\partial A\) auch nicht mehr schwer zu bestimmen.

Ich denke es macht erst Sinn, sich um \(B\) zu kümmern, wenn du \(A\) soweit verstanden hast. Bei Rückfragen helfe ich gerne weiter.

LG Dojima