Fehler in Argumentation finden bezüglich Integration von tan(x)-x

Question

Aufgabe:

Finden Sie den Fehler in folgender Argumentation:

Es gilt $$\frac{d}{dx}(tan(x)-x)=1+tan^2(x)-1=tan^2x$$

und damit $$0\leq\int \limits_{0}^{π}tan^2(x) dx=(tan(x)-x)=-π \lt 0$$

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits versucht den Fehler in der Ableitung zu finden, doch die ist korrekt. Dann habe ich überlegt, ob man den tan(x) vielleicht in diesem Zusammenhang nicht integrieren kann, finde aber keinen wirklichen Grund wieso das nicht gehen sollte.

Answer 1

Achte mal auf Polstellen

~plot~ tan(x)-x;x=pi/2;x=-pi/2;x=1.5pi;x=-1.5pi ~plot~

Comments

Bedeutet das, dass wenn in meinem Intervall des Integrals eine Polstelle vorliegt, eine Integration nicht möglich ist? Heißt das, dass die Stammfunktion im Intervall stetig sein muss?

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tan(x) sowie (tan(x))^2 hat ja auch eine Polstelle im Intervall.

Darf man einfach so über Polstellen in einer Funktion wegintegrieren?

Was sagst du zu folgendem?

∫ (-1 bis 1) 1/x^2 dx = [-1/x](-1 bis 1) = (-1/(1)) - (-1/(-1)) = -2

Skizze

~plot~ 1/x^2;x=1;x=-1 ~plot~

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Stimmt, macht Sinn, dass man nicht über Polstellen Integrieren darf sonst gibt das Ergebnis keinen Sinn. Vielen Dank für deine vielen Beispiele! :)

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Wie steht' s denn mit ∫ (-1 bis 1) log(x²) dx = [x·log(x²) - 2x](-1 bis 1) = (0 - 2·1) - (0 - 2·(-1)) = -4 ?

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Eigentlich darfst du auch dort nicht über die Definitionslücke hinweg integrieren. Aber dort ist die Fläche wenn du es mit der Grenzwertbildung bei 0 machst auch -4. Aber nur weil etwas an einem Beispiel funktioniert heißt es nicht das es deswegen immer funktioniert und das man es dann immer so machen darf.