Im Folgenden wird der Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) mit dem gewöhnlichen Begriff von Geraden die "kartesische Ebene" genannt, d.h. eine Gerade in der kartesischen Ebene ist eine Teilmenge in \( \mathbb{R}^{2} \), die besteht aus allen Punkten \( (x, y) \), die eine Gleichung der Form \( y=a x+b \) oder \( x=c \) für beliebig gewählte Konstanten \( a, b, c \in \mathbb{R} \) erfüllen. Sie dürfen in dieser Aufgabe alles Wissen um Geraden in der kartesischen Ebene benutzen.
a) Ermitteln Sie eine algebraische Bedingung an die Koordinaten von drei Punkten in der kartesischen Ebene, die genau dann erfüllt ist, wenn diese kollinear sind.
b) Sei \( \mathcal{E}:=\mathbb{R}^{2} \) mit der Menge der Geraden gegeben durch
\( \mathcal{G}:=\left\{\left\{\left(x,(x-a)^{2}+b\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \cup\{\{(c, y) \mid y \in \mathbb{R}\} \mid c \in \mathbb{R}\} . \)
Zeigen Sie, dass \( (\mathcal{E}, \mathcal{G}) \) eine Inzidenzgeometrie ist.
c) Für die Inzidenzgeometrie \( (\mathcal{E}, \mathcal{G}) \) in Teilaufgabe (b), bestimmen Sie alle Parallelen zu einer beliebigen Gerade und einem Punkt außerhalb dieser.
