Inzidenzstruktur/Inzidenzgeometrie Beweis

Question

Aufgabe:

Es sei (P,G,I) eine Inzidenzstruktur, die die Axiome (1), (2) und (3) — die
Axiome einer Inzidenzgeometrie — erfüllt.(P ist Menge, deren Elemente Punkte heißen, G ist Menge, deren Elemente Geraden heißen, I ist Relation zwischen P und G.)

(i) Begründe, dass die Menge G mindestens drei Elemente haben muss.

(ii) Begründe, dass in einer Inzidenzgeometrie, in der das Parallelenaxiom erfüllt ist, die Menge P mindestens vier Elemente haben muss.

(iii) Zeige, dass, wenn (P,G,I) zusätzlich das Parallelenaxiom erfüllt, die Relation II (’ist parallel zu’) eine Äquivalenzrelation ist.

Problem/Ansatz:

Inzidenzaxiome:
(1) Jede Gerade inzidiert mit mindestens zwei Punkten.
(2) Je zwei Punkte inzidieren mit genau einer Geraden.
(3) Es gibt drei nicht-kollineare Punkte.
Parallelenaxiom:
(4) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P ist Element von h und g II h.

Meine Idee zu iii:
Wir zeigen, dass g II h,h II i, aber g nicht parallel zu i zu einem Widerspruch
führt. Wegen g nicht parallel zu i gibt es einen Punkt P, der sowohl mit g als
auch mit i inzidiert. Damit gibt es zu P und h zwei zu h parallele
Geraden, die mit P inzidieren, nämlich g und i. Aber damit ist
das Parallelenaxiom (4) verletzt.

i und ii sehe ich, aber ich schaffe es nicht, den Beweis zu schreiben. Wie funktioniert dieser?

Inzidenzaxiome:
(1) Jede Gerade inzidiert mit mindestens zwei Punkten.
(2) Je zwei Punkte inzidieren mit genau einer Geraden.
(3) Es gibt drei nicht-kollineare Punkte.
Parallelenaxiom:
(4) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P ist Element von h und g II h.

i und ii sehe ich, aber ich schaffe es nicht, den Beweis zu schreiben. Wie funktioniert dieser?

Answer 1

Inzidenzaxiome:
(1) Jede Gerade inzidiert mit mindestens zwei Punkten.
(2) Je zwei Punkte inzidieren mit genau einer Geraden.
(3) Es gibt drei nicht-kollineare Punkte.
Parallelenaxiom:
(4) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P ist Element von h und g II h.

(i) (3) ==>  Es gibt  P, Q und R die paarweise verschieden sind;
denn wären zwei gleich, dann wären die 3 kollinear.

Da P≠Q gibt es die Gerade PQ.
Da PQR nicht kollinear sind   ==>  R ∉ PQ.

Da P≠R gibt es die Gerade PR. Diese ist nicht gleich PQ,
da sonst PQR  kollinear sind,

Da Q≠R gibt es die Gerade QR. Diese ist weder gleich PQ
noch gleich PR da sonst PQR kollinear sind,

Also gibt es mindestens 3 verschiedene Geraden.

Comments

Wie ist diese Variante zu i:

-seien P,Q,R 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen (nach (3))
-nach (1) sind die 3 Geraden p= (PQ), q= (PR) und r= (QR) paarweise verschieden

Das ist noch eine Idee zu ii:

-seien P,Q,R 3 nicht kollineare Punkte (nach (3))
-es gilt: p= (QR), q= (PR), r= (PQ)
-diese Geraden sind nicht parallel, da sie gemeinsame Punkte aufweisen
-auch die Parallelen p´, q´ und r´ dazu sind nicht parallel (die Parallelität in einer affinen Ebene ist eine Äquivalenzrelation)
-setze nun P´:= q´geschnitten r´ usw.
-wir sehen, dass alle Geraden verschieden sind: p ist ungleich p´, da P mit p´
inzidiert, aber nicht mit p
-p´ ist ungleich q, da p´ parallel zu p ist, was wiederum nicht parallel zu q ist
-P´ist ungleich P,Q,R, weil P´mit q´und r´ inzidiert, aber P´nicht mit q und r inzidiert
−q vereinigt r enthalten aber alle Punkte

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Ich habe eine neue Frage gestellt, wo ich das i nochmal behandle.

https://www.mathelounge.de/785562/begrunde-dass-die-menge-mindestens-drei-elemente-haben-muss?show=785593#c785593

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Dasselbe fürs ii