Rechnen mit Ungleichungen.

Question

Aufgabe:

Seien k, m, n ∈ N mit m < n. Beweisen Sie ,
dass dann auch m + k < n + k gilt.

Problem/Ansatz:

unter benutzung dieser Satz :Rechnen mit Ungleichungen
♡
Fur alle ¨ k, m, n ∈ N gilt:
a) m < n ⇒ m + k < n + k.
b) m < n ⇒ mk < nk.
c) m ≤ n ⇒ m + k ≤ n + k.
d) m ≤ n ⇒ mk ≤ nk.

Answer 1

m < n ==>    n-m<0   ==>   n+k-m-k<0

                             ==>   n+k > m+k.

Comments

n-m<0

Vermutlich soll hier nur in der Menge ℕ gearbeitet werden.

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ist meine Antwort Richtig↧↧↧

Um zu beweisen, dass m+k<n+k gilt, wenn m<n und k,m,n∈N,

verwenden wir die Definition von "<" und die in der Aufgabenstellung gegebene Aussage (a):

Nach der Definition von "<" für natürliche Zahlen gilt:

m<n bedeutet, dass es ein l∈N gibt, so dass n=m+l.

Wir möchten zeigen, dass

m+k<n+k gilt. Verwenden wir die gegebene Aussage (a):

m<n⇒m+k<n+k

Da wir bereits wissen, dass n=m+l, setzen wir dies ein:
m<m+l⇒m+k<(m+l)+k

Nun können wir die Gleichung vereinfachen:

m<m+l⇒m+k<m+(l+k)

Wir können sehen, dass
l+k eine natürliche Zahl ist, da sowohl l als auch k in N liegen. Daher haben wir gezeigt, dass

m+k<n+k gilt, wenn m<n und k,m,n∈N, wie in der Aufgabenstellung gefordert.