0 Daumen
379 Aufrufe

Aufgabe: Gegeben: s(n)=summe von k=0 bis n 1/k!;  t(n)=(1+(1/n))^n ;  n=0,1,2,…

Problem/Ansatz: Teil a) habe ich hinbekommen, bei b)-d) bin ich seit gestern völlig ratlos. Wäre sehr dankbar, wenn jemand die einzelnen Schritte zeigen/erklären könnte…


(b) Zeigen Sie, dass für \( 2 \leq m \leq n \)
\( \begin{array}{l} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \geq \\ 1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{m !}\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right) \end{array} \)
ist, wobei für \( m=n \) die Gleichheit gilt.
(c) Verwenden Sie die Ungleichung aus Teil (b) für \( m=n \) und zeigen Sie, dass \( t_{n} \leq s_{n} \) für \( n=2,3, \ldots \).
(d) Verwenden Sie die Ungleichung aus Teil (b) und zeigen Sie, dass \( s_{m} \leq t \) für \( m= \) \( 2,3, \ldots \), wobei \( t=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} t_{n} \).

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Im Weiteren sei jetzt immer \(2\leq m\leq n\):
(b)

Aufgrund der binomischen Formel gilt auf jeden Fall:

\( \left(1+\frac 1n \right)^{\color{blue}{n}} = 2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{n}}\binom{n}{k}\frac 1{n^k} \geq 2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}}\binom{n}{k}\frac 1{n^k} \)

Nun betrachten wir die Glieder der Summe:

\(\binom{n}{k}\frac 1{n^k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac 1{n^k} = \frac{n(n-1)\cdots (n - (k-1))}{k!\cdot n^k}\)

\(= \frac 1{k!} \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-(k-1)}n \) \(= \frac 1{k!} \left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)\)

Damit ist (b) gezeigt.

(c)

Im Weiteren bezeichen wir für \(2\leq m\leq n\)

$$s_{n,m} =2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}} \frac 1{k!} \underbrace{\left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)}_{<1}$$

Insbesondere ist also \( s_{n,n} = t_n \leq s_n \). Damit ist (c) gezeigt.

(d)

Wir fixieren ein \(m \geq 2\). Dann gilt offebar

$$\lim_{n\to\infty} s_{n,m} =2+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}} \frac 1{k!} \underbrace{\left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1} = s_m$$

Somit gilt für \(n\geq m\):

$$s_{n,m} \leq t_n \Rightarrow s_m = \lim_{n\to\infty}s_{n,m}\leq t$$

Damit ist auch (d) gezeigt.

Avatar von 11 k

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Das hilft mir gerade ungemein weiter

0 Daumen

Du solltest den binomischen Lehrsatz anwenden :D, dann kannst du die b) sehr gut lösen und kannst dann ja fragen, falls du noch hilfe bei c), d) brauchst.

Avatar von 1,7 k

Danke dir für den Tipp!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community