Vollständige Induktion. Ungleichungen zeigen: stets 0 < a_(n) < 1 und a_(n+1) < a_(n)

Question

Hallöchen!

Ich kann diese Aufgabe einfach nicht lösen , meine Induktion funktioniert nicht und ich komm nicht weiter. Diese Aufgabe gibt sehr viele Punkte, deshalb würde ich mich über Hilfe freuen:)

Wir definieren eine Folge von reellen Zahlen (an) durch a₁ := 1/2, a₂ := 1/2 −1/(2^2)=1/4, a₃ :=1/4 −1/(4^2) =3/16 , allgemein durch die rekursive Definition a_n+1 = a_n − a²_n für alle n≥ 1.
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass stets 0 < a_n < 1 und a_n+1 < an .
(b) Schließen Sie, dass an konvergiert.

:)

Comments

Die vielen Punkte wollen verdient sein.

Schreibe auf, was Du bis jetzt gemacht hast. Man wuesste gerne, was an der simplen Induktion für \(a_n\in(0,1)\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) nicht klappt. Induktionsanfang ist klar und im Induktionsschritt ist aus \(a_n\in(0,1)\) für ein \(n\) mithilfe der Rekursionsvorschrift auf \(a_{n+1}\in(0,1)\) zu schliessen.

Fuer den zweiten Teil brauchst Du gar keine Induktion. Du rechnest unter Benutzung von \(a_n\in(0,1)\) bloss \(a_{n+1}-a_n<0\) oder auch \(a_{n+1}/a_n<1\) nach.

Answer 1

Schau mal ob das so Sinn macht:

Comments

Warum plötzlich 0<an+1>0 ?

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Die Zeile ist fehlerhaft und sollte 0 < an+1 < 1 lauten. Darunter gehts ja richtig durch einsetzen weiter.