Vollständige Induktion, Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für n Element N

a) p^n > n^2  mit p ≥ 3

Problem/Ansatz:

Ich wollte Fragen ob mein Beweis richtig ist. Wir wissen, p ≥ 3 und n ≥ 1 wegen n e N

Induktionsanfang: 3^1 > 1^2

Induktionsschritt: 3(n)^1 > 1^2

3(n+1)^n+1 > (n+1)^2

3(n+1)^n+1 > n^2 +2n+1

3n + 3^n * 3^1 > n^2 +2n+1

3n+3^n ersetzen durch rechte Seite

> (n^2+2n+1)*3

= 3n^2+6n+1

= n^2+2n+1 + 2n^2 +4n

2n^2+4n > n^2+2n+1

Beweis: Setzte 1 ein : 4 + 4 > 1 + 2 +1

Answer 1

Das ist so nicht richtig.

Induktion über n, also Anfang n=1

         p^1 > 1^2

<=>   p > 1   ist wahr, weil   p ≥ 3

und auch für n=2 gilt

           p^2 > 2^2    denn p ≥ 3 bedeutet ja p^2   ≥ 9

              also gilt auch p^2 > 4

Sei p ≥ 3  und n ≥ 2      mit  p^n > n^2  .

Dann ist zu zeigen p^(n+1)  > (n+1)^2

Betrachte   p^(n+1) = p *  p^n

und weil p^n > n^2   folgt

               p *  p^n > p*n^2 und wegen p ≥ 3 gilt

                            ≥ 3n^2 .

Also hat man bis dahin

    p^(n+1) > 3n^2 = n^2 + n^2 + n^2

Nun ist j a ( s.o. ) n ≥ 2   also n^2  ≥ 2n und auch n^2 > 1.

damit hast du n^2 + n^2 + n^2 >  n^2 + 2n + 1 = (n+1) ^2

Also     p^(n+1) > (n+1)^2 .  q.e.d.

Answer 2

Im Induktionsschritt muss aus pⁿ > n² mit p ≥ 3 gefolgert werden:

p·pⁿ > n²+2n+1  mit p ≥ 3

links wird pⁿ > n² mit p ≥ 3 multipliziert und rechts wird 2n+1 addiert.

Warum auf diese Weise das Ungleichheitszeichen erhalten bleibt, ist zu begründen.