Zeigen Sie: Σ a_{n} konvergiert genau dann, wenn Σ 2^{n} a_{2^{n}} konvergiert.

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Zeigen Sie: \( \sum a_{n} \) konvergiert genau dann, wenn \( \sum 2^{n} a_{2^{n}} \) konvergiert.

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Kann mir, wer bitte einen Ansatz zeigen

LG

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Hier bitte: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Answer 1

Angenommen, die Folge (2^na_n) konvergiert. Dann gibt es ein m > 0, sodass |2^na_n| < 1/2 für alle n > m. Dann gilt auch |a_n| < 1/(2^m) für alle n > m. Dies bedeutet, dass die Folge (a_n) konvergiert.

Umgekehrt angenommen, die Folge (a_n) konvergiert. Dann gibt es ein m > 0, sodass |a_n| < 1/2 für alle n > m. Dann gilt auch |2^na_n| < 1/(2^m) für alle n > m. Dies bedeutet, dass die Folge (2^na_n) konvergiert.

Da die Folge (a_n) monoton fallend ist, sind auch die Folgen (a_n^+) und (a_n^-) monoton fallend, wobei (a_n^+) die positive Teilfolge von (a_n) und (a_n^-) die negative Teilfolge von (a_n) ist. Daher gilt dasselbe für die Folgen (2^na_n^+) und (2^na_n^-). Da die Folge (a_n) konvergiert, falls und nur falls ihre positive und ihre negative Teilfolge konvergieren, gilt dasselbe auch für die Folge (2^na_n). Daher konvergiert die Folge (2^na_n) genau dann, wenn die Folge (a_n) konvergiert.

Um zu zeigen, dass ∑ a_n konvergiert, genau dann wenn ∑ 2^n_a_2^n konvergiert, müssen wir zeigen, dass ∑ a_n konvergiert, genau dann wenn ∑ 2^na_n konvergiert. Wir haben bereits gezeigt, dass dies der Fall ist. Daher gilt unser Aussage, dass ∑ a_n konvergiert genau dann, wenn ∑ 2^na_n konvergiert.