Zeigen Sie, dass dann auch Σ _{n=1}^{∞} a_{n}^{2} konvergiert.

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 2 (6 Punkte). Sei \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe. Zeigen Sie, dass dann auch \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \) konvergiert. Stimmt die Aussage noch, wenn \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) nur bedingt konvergiert? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ich habe die Konvergenz von (a_n)^2 gezeigt, jetzt bin ich mir bei der zweiten Frage unsicher:

Ich hatte überlegt, dass die alternierende harmonische reihe konvergiert und dass ich die harmonische reihe dann als Minorante verwende, denn diese konvergiert nicht? und wie würde ich das aufschreiben?

LG

Answer 1

Ich würde mal auf die Reihe über \(a_n:=(-1)^n/\sqrt{n}\) schauen.

Comments

Alles klar. Meine Gedanken dazu:
Die Reihe konvergiert ja nur bedingt, da |a_n| divergiert, wegen den positiven Summanden...

Wenn ich nun die Konvergenz von an² prüfen will :
Ich nehme mal an dass an² konvergiert.

Dann ist a der Grenzwert dieser Reihe, falls ∀ ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit

|an - a| < ε ∀ N ∈ ℕ.

Wir wissen dass wegen der Konvergenz gilt, dass die einzelnen Partialsummen a = 0 sind, also wählen wir ε = 1.     => |an| < 1. Wir prüfen, ob das für an^2 der fall ist:
(-1)ⁿ * 1/√n < 1       =>       0 ≤ ((-1)n * 1/√n)² ≤ (-1)n * 1/√n

0 ≤ (-1)²ⁿ * 1/n ≤ (-1)n * 1/√n

Das kann ja nicht sein oder? Denn der Term (-1)2n * 1/n hat ja nur positive Summanden also geht gegen ∝

Stimmt das so?

LG

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Hallo,

Du wirfst mehrfach die Folge \((a_n)\) und die zugehörige Reihe durcheinander. Wir haben 2 Reihen

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \text{  und }\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Die erste konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, die zweite ist die harmonische Reihe, also divergent.

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Ahh ich verstehe, danke dir!
Lg