Zeigen Sie, dass dann auch (b_{n})_{n ∈ ℕ} konvergiert mit \lim _{n → ∞} b_{n}=a .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 3\left(4+2\right. \) Punkte). Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen und setze
\( b_{n}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} . \)
(a) Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent mit Grenzwert \( a \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann auch \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=a \).
(b) Finden Sie ein Beispiel für eine divergente Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), für die \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) trotzdem konvergent ist. Beweisen Sie auch die Konvergenz von \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

Bei der a) habe ich mir überlegt:
Ich nehme |b_n-a| und schreibe
| b_n-a | = | 1/n∑ a_k-a |

außerdem weiß ich lim a_n=a und lim 1/n∑ a_k = a
Dann habe ich lim | b_n-a | = lim | 1/n∑ a_k-a | = lim | 1/n∑ a_k-a - lim a | = 0 
somit ist die folge ja konvergent mit lim b_n = a

bei der b) brauche ich dringend hilfe

LG

Text erkannt:

\( \left|b_{n}-a\right|: \)

Comments

außerdem weiß ich lim an=a und lim 1/n∑ ak = a

Das letztere ist doch die Behauptung und soll erst gezeigt werden.

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Stimmt das werde ich ändern.
Hast du da einen tipp? bzw ansatz?

und vielleicht auch für die b)

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Tipp für a):

\(\left|\frac1n\sum_{k=1}^na_k - a \right|\)

\(=\left|\frac1n\sum_{k=1}^na_k - \frac1n\sum_{k=1}^na \right| \)

\(=\left|\frac1n\sum_{k=1}^n(a_k - a)\right|\)

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Danke für den Tipp bei a)

Und dann einfach den grenzwert oder?

Answer 1

Tipp zu b)  Wie wäre es mit \(   a_n= (-1)^n \) ?

Comments

Stimmt, aber wie zeige ich die konvergenz von bn?

bn := 1/n∑ ak und da man eine unendliche summe hat von negativen und positiven zahlen folgt ja : +1 + (-1) +1...

Dann weiß man ja auch nicht, ob es eine nullfolge ist? Oder verstehe ich das falsch?

LG

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\(  b_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k  \)

Die Summe hat doch immer nur die Werte -1 , 0  und 1

also gilt immer -1/n ≤   b_n  ≤  1/n .

Für n gegen unendlich gehen die Schranken gegen 0,

also b_n auch.