Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n ∈ ℕ} genau dann gegen a konvergiert, falls jede Teilfolge von (a_{n})_{n ∈ ℕ} eine gegen …

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen und \( a \in \mathbb{R} \) vorgegeben. Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) genau dann gegen \( a \) konvergiert, falls jede Teilfolge von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine gegen \( a \) konvergente Teilfolge besitzt.

Problem/Ansatz:

Kann mir wer helfen

Comments

eine gegen \( a \) konvergente Teilfolge besitzt.

Meinst du vielleicht "eine gegen \(a\) konvergente Teilfolge ist" ?

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Hallo

versuch es mit Widerspruch : keine Teilfolge konvergiert gegen a.

lul

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Bedenke, dass auch \((a_n)\) eine Teilfolge von \((a_n)\) ist.
Damit wird die eine Richtung der Behauptung trivial.

Answer 1

 \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert  gegen \( a \)

<=>  Jede Teilfolge von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) besitzt
           eine gegen \( a \) konvergente Teilfolge.

"<=="   Da die Folge selber eine Teilfolge ist und sich selbst als Teilfolge enthält
           konvergiert sie gegen a.

"==>"  \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert gegen \( a \)

==>  \( \forall ε > 0  ∃N \in \mathbb{N}  n≥N ==> |a_n - a |  \lt ε  \)

Sei nun ε > 0  . Und (b_k)_k∈ℕ eine Teilfolge von (a_n)_n∈ℕ

Dann gibt es ja zu jedem k ein n≥k so, dass b_k=a_n .

Sei nun K so gewählt, dass für alle k≥K jedenfalls n≥N gilt.

Dann gilt für alle  k≥K auch \(  |a_n - a | \lt ε  \).

Also konvergiert die Teilfolge gegen a.