Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Im Laufe dieser Aufgabe soll die Aussage
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { konvergiert } \Leftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text { konvergiert } $$
gezeigt werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor.
(a) Zeigen Sie, dass für \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch
$$ \begin{array}{ll} b_{2^{k}+m}:=a_{2^{k}} & \text { für alle } k \in \mathbb{N}_{0}, 0 \leq m<2^{k} \\ c_{2^{k}+m}:=a_{2^{k+1}} & \text { für alle } k \in \mathbb{N}_{0}, 0 \leq m<2^{k} \end{array} $$
die Ungleichung
$$ c_{n} \leq a_{n} \leq b_{n} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} $$
gilt.
(b) Angenommen die Zahlenreihen \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} \) konvergieren. Zeigen Sie, dass
$$ \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} $$
und
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}-a_{1}\right) $$
gilt.
(c) Folgern Sie die Aussage
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { konvergiert } \Leftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text { konvergiert } $$
mit dem Majorantenkriterium.
