Ungleichung mit Exponentialfunktion? Uni 1 + x ≤ exp(x) und exp(x) ≤ 1/(1-x), falls x < 1 zeigen

Question

Wie löst man die folgenden 2 Aufgaben?
zeige, dass für alle x element (e) R folgendes gilt
1 + x ≤ exp(x)?

exp(x) ≤ 1/(1-x), falls x < 1

Comments

Zeige das für alle x element der R folgendes gilt: 
exp(x) kleiner gleich  1/(1-x) , falls x < 1.

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Exponentialfunktion: Ungleichung exp(x) ≤ 1/(1−x) für alle x ∈ [0, 1) beweisen

hallo zusammen,

ich muss zeigen, dass exp(x) ≤ 1/(1−x) für alle x ∈ [0, 1). Ich verstehe nicht was ich hier genau machen soll und mit welchem vorgehen ich das beweisen kann. Es wäre sehr nett, wenn jemand mir verständlich und auch in Worten erklären könnte.

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Findest du wohl hier: https://www.mathelounge.de/409772/ungleichung-mit-exponentialfunktion-uni-und-falls-zeigen

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Vielleicht mit dem Mittelwertsatz angewendet auf exp(-x)?

Answer 1

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

g(x) = 1 + x

g'(x) = 1

Y-Achsenabschnitt

f(0) = g(0) ist ein gemeinsamer Punkt

für x > 0 ist f'(x) > g'(x) und damit steigt f(x) immer schneller, d.h. die Funktionswerte von f(x) liegen immer über denen von g(x)

für x < 0 ist f'(x) < g'(g) und damit steigt g(x) immer schneller, d.h. auch hier liegen die Funktionswerte von f(x) immer über denen von g(x).

Comments

Probier mal die 2. Aufgabe analog zu lösen.

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ist das der Weg für den ersten Aufgabenteil?

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alles klar versucch ich mal

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ist das der Weg für den ersten Aufgabenteil?

ja. ich hoffe doch das konnte man erkennen.

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2. sollte ja genauso gehen

~plot~ exp(x);1/(1-x) ~plot~

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f(x) = e^x

f'(x) = e^x

g(x)= 1/1-x

g'(x)= 1/(x-1)^2

Y-Achhsenabschnitt

f(1) = g(1) ist ein gemeinsamer Punkt

wie fahre ich jetzt fort ich mein ist es überhaupt so richtig bis jetzt?

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f(1) = g(1) ist ein gemeinsamer Punkt 

so mit Sicherheit nicht. Siehe skizze.

Idee:

e^x < 1/(1 - x)

e^x·(1 - x) <= 1

Kannst du zeigen dass das gilt?

für x = 0 ist das erfüllt. Betrachte dann die Steigung von dem Linken Ausdruck

y' = - x·e^x

Für x > 0 sicher negativ also fallend und für x < 0 sicher positiv also steigend.

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Hallo ANA2205. Ich habe die oben unter Idee das vorgemacht. Was verstehst du nicht? Das ist Schrittweise gelöst.

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ja aber das ist doch noch nicht fertig oder?

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e^x·(1 - x) <= 1 

Du kannst das nachweisen indem Du zeigst, das das linke eine Stetige Funktion ist und der einzige Extrempunkt bei 1 liegt. Wo ist genau das Problem.

Das was ich oben gemacht habe langt auch.

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würde das unten so reichen wie die aufgabe gelöst ist weil das kann ich irgendwie nachvollziehen ..?

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Ja. Wenn du das so nachvollziehen kannst dann ist das auch möglich.

Answer 2

Hinweise zur Lösung unter

https://www.mathelounge.de/409772/wie-lost-man-aufgabe-mit-exponentialfunktion-uni#c409806

Wenn du damit nicht klar kommst, bitte nochmals melden.

Comments

ich kann damit nicht wirklich viel anfangen ich meine kannst du diese Aufgabe mit beschriebenen schritten lösen sodass ich sie nachvollziehen kann das wäre sehr hilfreich, weil selbst komm ich darauf nicht wenn ich die schritte vor mir habe ist das hilfreicher als das ich hier schon seit tagen nachdenke aber nicht weiter komme

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Ich habe in der anderen Frage nochmals auf meine Schritte hingewiesen. Wenn du etwas nicht verstehst, dann frag dort bitte gezielt nach.

Answer 3

e^x>=1+x folgt direkt aus der Definition der Exponentialfunktion und der Bernoulli Ungleichung:

(1+x/n)^n>=1+x für ein großes n.

Es gilt also auch

e^{-x}>=1-x 

1/e^{-x}<=1/(1-x)

e^x<=1/(1-x) , x<1

Comments

danke also so wäre es dann fertig gelöst? Ich versuch dann die schritte nachzuvollziehen

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Ich denke schon, aber das hängt immer davon ab  was ihr in der Vorlesung und Übung schon behandelt habt und als gegeben nehmen könnt, wie hier z.B. die Bernoulli Ungleichung.

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ja die bernoulli ungleichung haben wir behandelt. Also müsste das auch stimmen ?

Answer 4

e^x ≤ 1/(1 - x)

Umformen zu

1 - e^x·(1 - x) ≥ 0

für x = 0

1 - e^0·(1 - 0) ≥ 0 --> 0 = 0 erfüllt

f(x) = 1 - e^x·(1 - x)

f'(x) = x·e^x

damit für x ≥ 0 monoton steigend. Daher ist die Ungleichung erfüllt.

Answer 5

Mir fiel nur ein vielleicht etwas umständlicher
Beweis ein

Zunächst wurde durch Umformung eine Funktion daraus
gemacht.

Im Intervall sind die Randpunkte
( 0 | 0 ) ( 1 | -1 )

Wenn jetzt noch gezeigt wird das im Intervall
0 ≤ x < 1
die Steigung negativ / fallend ist ist der Beweis erbracht
f ´( x ) = -x * e^x
e^x ist stets positiv
-x im Intervall stets negativ
also ist
f ´( x ) negativ.