Wurzel Sechs und Irrationalität von √2

Question

Sie haben den Beweis für die Irrationalität von √2 studiert. Versuchen sie jetzt die Irrationalität von √6 zu beweisen!

Sie starten mit der folgenden gegebenen Gleichung

√6 = p/q , wobei p und q natür. Zahlen sind, und formen die gegebene Gleichung um:

p^2 = 6 *q^2 = 2 * 3 * q^2          *****Anmerkung: zwei und drei sind die Primfaktoren von sechs******

Angenommen, p habe die Primfaktoren f1, f2, f3, …, fm, und q habe die Primfaktoren g1, g2, g3, …, gn.

 

Frage Eins) Was können wir über die Primfaktorenzerlegung von p^2 sagen in Bezug auf die Anzahlen, mit denen die Primfaktoren auftreten?

Wenn zwei Zahlen gleich sind, sind auch ihre Primfaktoren gleich. Die Primfaktorenzerlegung von p^2 und 2*3*q^2 müssen somit gleich sein.

Frage Zwei) Warum folgt aus dieser Idee, dass p^2 nicht gleich 2 * 3 * q^2 sein kann? Beachte Frage Eins!

Frage Drei) Was folgt daraus für √6?

Answer 1

Frage 1. Alle Primfaktoren einer Basis p oder q kommen im Quadrat p² oder q² in gerader Anzahl vor.

Frage 2. Die Primfaktoren 2 und 3 kommen links in gerader Anzahl und rechts vom Gleichheitszeichen in   p² = 2 * 3 * q² in ungerader Anzahl vor. Also gilt p² ≠ 2 * 3 * q².

Frage 3. p² ≠ 2 * 3 * q² oder p²/q²≠2·3 oder (p/q)²≠6 oder p/q≠√6. √6 ist nicht rational.