Wie kann ich anhand der Potenzreihen zeigen , dass 1 − x2 ≤ exp(−x2) ≤1/(1+x2) gilt.

Question

Aufgabe:

Wie kann ich anhand der Potenzreihen zeigen , dass 1 − x² ≤ exp(−x²) ≤1/(1+x²)   gilt.

Answer 1

Aloha :)

In der Abschätzung \(e^x\ge1+x\) ersetzen wir \(x\) durch \(\pm x^2\):$$e^{-x^2}\ge1-x^2\quad;\quad e^{x^2}\ge1+x^2\implies\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}$$Das setzen wir zu einer Unlgeichungskette zusammen:$$1-x^2\le e^{-x^2}=\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}$$

~plot~ 1-x^2 ; e^(-x^2) ; 1/(1+x^2) ; [[-2|2|0|1,1]] ~plot~