Zeige: Σ _{k=1}^{∞} a_{k} ist genau dann konvergent, wenn Σ _{k=1}^{∞} b_{k} konvergent ist.

Question

Text erkannt:

Es seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Folgen positiver Zahlen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l \neq 0 \). Zeige: \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) ist genau dann konvergent, wenn \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} b_{k} \) konvergent ist.

Aufgabe:

Answer 1

Die Definition der Folgenkonvergenz besagt, dass es zu (\(\epsilon=\)) \(0.5l\) (zum Beispiel) ein \(N \in \N\) gibt mit

$$\forall n \in \N: n \geq N \Rightarrow l-0.5l < \frac{a_n}{b_n}<l+0.5l$$

Also gitl für \(n \geq N\) die Abschätzung \(a_n \leq 1.5lb_n\).

Wenn also die Reihe über die \((b_n)\) konvergiert, dann ist \( (1.5lb_n)\) ab dem Index N eine konvergente Majorante für die Reihe über die \((a_n)\), die daher konvergiert.

Die Umkehrung geht analog.