Sei Σ a_{n} eine absolut konvergente Reihe und b_{n} eine beschränkte Zahlenfolge, dann ist die Reihe absolut konvergent

Question

Aufgabe:

Die Folge \( \left(a_{n}\right) \) sei monoton fallend. Ferner konvergiere die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{x} a_{n-} \) Dant gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)=0 . \) (Hinweis: Cauchy-Kriterium!)

Beweisen Sie: Sei \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe und \( \left(b_{n}\right) \) eine beschränkte Zahlenfolge, dann ist die Reihe \( \sum \limits_{m=1}^{\infty} a_{n} b_{n} \) absolut konvergent.

Ich kann mir natürlich dabei so Frage stellen wie: Wann ist eine Reihe konvergent, wenn sie aus einer Nullfolge besteht oder mir das anschaulich klar machen. Aber das ist dann leider kein Beweis.

Answer 1

Gedanken zu sammeln und Definitionen verstehen sind ja schonmal paar Grundsteine für den Anfang solcher Beweise. Was aber unbedingt nötig ist:

1) Assoziation korrekter Aussagen mit dem Ziel einer logischen Schlussfolgerung

2) Das ganze in mathematischer Notation hinzubekommen.

Zu den Aufgaben:

1)

\((a_n)\) ist eine Nullfolge mit positiven Folgenglieder.

Angenommen \( \lim \limits_{n \to \infty} na_n \neq 0 \Rightarrow \exists \ n_0 \in \mathbb{N}\) für ein \( e \gt 0: na_n \gt e ~ \forall n \geq n_0  \)

Das bedeutet aber \( a_n > \frac{e}{n} \ \forall n \geq n_0 \)

Versuche jetzt den Widerspruch zum Cauchy-Kriterium zu finden. Tipp: Harmonische Reihe erkennen.

2) Die Aufgabe ist eigentlich sehr simpel, verwende die Bedeutung der Beschränkheit von \( (b_n) \):

$$ \exists s \in \mathbb{R}_+ : |b_n| \leq s \ \forall n \in \mathbb{N}$$

und eine konvergente Majorante.

Gruß

Comments

Ok, also ich weiß, dass fürs Cauchy Kriterium gilt:

Für alle Epsilon größer 0 existiert ein n0 aus IN für alle m, n >= n0 für das gilt: Iam-anI < Epsilon

Die harmonische Reihe ist ja ∑ (1/n). Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht so genau, wo ich die da erkennen soll bzw., was ich machen soll :(

Ich hätte jetzt einfach gesagt, dass es nicht größer Epsilon sein darf laut der Def. vom Cauchy Krit. und fertig ...

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Das ist nicht wirklich wie man etwas beweist.

In erster Linie wird hier auf das Cauchy-Kriterium für Reihen angespielt. Kennst du das Minorantenkriterium? Ich hab dir dort oben Grundbausteine für eine divergente Minorante gebastelt.

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Du meinst, ich beginne mit dem Betrag der harmonischen Reihe und schätze es dann ab, sodass ich am Ende eine Minorante herausbekommen?

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Ja du kannst die harmonische Reihe verwenden um

$$ \sum \limits_{n = n_0}^{\infty} a_n $$

abzuschätzen. Die Konsequenz des ganzen muss dir natürlich für den darauffolgenden Schritt bewusst sein.

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Aha! Ok, danke, ich versuche mich mal und melde mein Ergebnis dann hier heute Abend :)