Reihenkonvergenz - Absolut oder bedingt konvergent?

Question

Aufgaben:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k e^{k+2}}{(k+2) 5^{k}} \)

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k-1} \frac{k+2}{(k+1)^{3}} \)

Ich habe bei dem oberen mit dem Wurzelkriterium gearbeitet. Habe es als k*e^k*e*e aufgeteilt und unten so stehen gelassen und dann habe ich von jedem Faktor einzeln die k-te Wurzel gezogen. So konvergierte für mich alles, bis auf e/5 gegen 1. Somit habe ich da e/5 raus < 1 => abs. konvergent.

Beim zweiten habe ich das Leibnizkriterium angewandt. Erstmal gegeuckt, obs eine monoton fallende NF ist und das ist sie bei mir (habe gezeigt, dass k+2/(k+1)^3 > k+3/(k+2)^3 ist.

Da dies gepasst hat, weiß ich ja nun, dass die Reihe konvergiert, habe das Ganze dann in den Betrag gesetzt und nach 1/k abgeschätzt. Demnach kam ich auf die harmonische Reihe, was bedeutet, dass die Reihe zwar konvergiert, aber nicht absolut, sondern nur bedingt.

Kann mir das bitte jemand bestätigen, oder wenn es falsch sein sollte, mir die richtige Rechnung Nahe bringen?

Answer 1

bis zum letzten Schritt alles soweit richtig gemacht, aber:

Die zweite Reihe konvergiert ebenfalls absolut, weiß nicht wie du auf die Abschätzung mit der harmonischen Reihe gekommen bist:

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \left | (-1)^{k-1} \frac{k+2}{(k+1)^3} \right | = \sum_{k=0}^{\infty}  \frac{k+2}{(k+1)^3}  \\ = \sum_{k=0}^{\infty}  \frac{1}{(k+1)^2}+ \frac{1}{(k+1)^3} \leq \sum_{k=0}^{\infty}  \frac{2}{(k+1)^2} $$

Insbesondere hättest du dir das Leibnitz-Kriterium sparen können, denn

absolute Konvergenz => Konvergenz.

Gruß

Comments

Danke dir für die Antwort!

Ja, da war ich mir auch etwas unsicher, wollte es eigentlich gegen 1/k^2 abschätzen, aber irgendwas hat mich dazugeritten, es nicht zu tun. So ergibt die (deine) Abschätzung aber auch mehr Sinn als meine!