konvergent und/oder absolut konvergent?

Question

Aufgabe:

Ist die Reihe

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n^{-(2+(-1)^n)}$$

konvergent und/oder absolut konvergent?

…

Problem/Ansatz:

$$|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}|=\frac{(-1)^{k+1}(k+1)^{-(2+(-1)^{k+1})}}{(-1)^{k}*k^{-(2+(-1)^k)}} $$

Für k gerade:

$$\frac{-1*(k+1)^{-1}}{1*k^{-2}}=\frac{\frac{1}{-(k+1)}}{\frac{1}{k^2}}=\frac{k^2}{-(k+1)} $$

Für k ungerade:

$$\frac{1*(k+1)^{-2}}{-1*k^2}=\frac{\frac{1}{(k+1)^{-2}}}{-k^2}=\frac{1}{k^4+2k^3+k^2}$$

Sei q e (0,1)

Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent, weil$$ |\frac{a_{k+1}}{a_{k}}| $$<= q < 1 für k gerade und k ungerade.

Das ist mein Ansatz bisher mit dieser Aufgabe, aber sie "fühlt" sich nicht richtig an :D

Kann mir bitte jemand weiterhelfen und sagen was ich falsch/richtig gemacht habe?

Answer 1

Nicht absolut konvergent, weil jede Zahl der Form \(-\frac{1}{n}\) als Folgenglied vorkommt und die harmonische Reihe nicht konvergent ist.

\(|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}| \) <= q < 1 für k gerade und k ungerade.

Dafür hast du keine überzeugende Begründung geliefert.