Ist die Reihe konvergent bzw absolut konvergent?

Question

Aufgabe:

Ist die Reihe konvergent bzw. absolut konvergent?

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n*n^3 / (n!)^2} \) 

Problem/Ansatz: Ich komme gut klar mit Konvergenz und den jeweiligen Kriterien, aber hier habe ich wirklich keine Idee, wie ich es zeigen muss.

Comments

Welches Kriterium hast Du denn schon versucht?

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Leibnitz macht hier kein Sinn

Mit dem Quotientenkriterium kam ich auch nicht weiter

Majorantenkriterium

(Wurzelkriterium habe ich noch nicht versucht, aber das verstehe ich noch nicht so ganz) muss ich das verwenden?

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Dann zeig doch mal, welches Problem mit dem Quotientenkriterium auftritt:

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Ich habe nach umformen und kürzen lim 2/(n^2+2n+1) raus. (Quotientenkriterium)

Kann man da denn noch etwas weiterkürzen ?

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Wozu willst Du noch etwas kürzen? Der Grenzwert wäre doch offenbar 0. Also Konvergenz.

Ich habe allerdings etwas anderes als Quotient heraus, siehe Antwort

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Hier eine Darstellung der ersten 10 Summen im Koordinatensystem:

Answer 1

Ich komme beim Quotienten auf

a(n + 1) / a(n) = 2·(n + 1)/n^3

Answer 2

Wir haben

$$a_n=\frac{2^nn^3}{(n!)^2}$$

Damit

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\frac{2^{n+1}(n+1)^3}{((n+1)!)^2}\frac{(n!)^2}{2^nn^3}$$

$$=2\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\frac{1}{(n+1)^2} \to 2 \cdot 1\cdot 0=0$$