Die vielen Punkte wollen verdient sein.
Schreibe auf, was Du bis jetzt gemacht hast. Man wuesste gerne, was an der simplen Induktion für \(a_n\in(0,1)\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) nicht klappt. Induktionsanfang ist klar und im Induktionsschritt ist aus \(a_n\in(0,1)\) für ein \(n\) mithilfe der Rekursionsvorschrift auf \(a_{n+1}\in(0,1)\) zu schliessen.
Fuer den zweiten Teil brauchst Du gar keine Induktion. Du rechnest unter Benutzung von \(a_n\in(0,1)\) bloss \(a_{n+1}-a_n<0\) oder auch \(a_{n+1}/a_n<1\) nach.