Im Weiteren sei jetzt immer \(2\leq m\leq n\):
(b)
Aufgrund der binomischen Formel gilt auf jeden Fall:
\( \left(1+\frac 1n \right)^{\color{blue}{n}} = 2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{n}}\binom{n}{k}\frac 1{n^k} \geq 2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}}\binom{n}{k}\frac 1{n^k} \)
Nun betrachten wir die Glieder der Summe:
\(\binom{n}{k}\frac 1{n^k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac 1{n^k} = \frac{n(n-1)\cdots (n - (k-1))}{k!\cdot n^k}\)
\(= \frac 1{k!} \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-(k-1)}n \) \(= \frac 1{k!} \left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)\)
Damit ist (b) gezeigt.
(c)
Im Weiteren bezeichen wir für \(2\leq m\leq n\)
$$s_{n,m} =2+\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}} \frac 1{k!} \underbrace{\left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)}_{<1}$$
Insbesondere ist also \( s_{n,n} = t_n \leq s_n \). Damit ist (c) gezeigt.
(d)
Wir fixieren ein \(m \geq 2\). Dann gilt offebar
$$\lim_{n\to\infty} s_{n,m} =2+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{\color{blue}{m}} \frac 1{k!} \underbrace{\left(1 - \frac {1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}n\right)}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1} = s_m$$
Somit gilt für \(n\geq m\):
$$s_{n,m} \leq t_n \Rightarrow s_m = \lim_{n\to\infty}s_{n,m}\leq t$$
Damit ist auch (d) gezeigt.
