x, n ∈ ℕ und r ∈ { -1, 0, 1, 2 } : n=4x+r

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass zu jeden n ∈ ℕ eindeutige natürliche Zahlen x ∈ ℕ und r ∈ { -1, 0, 1, 2 } existieren, so dass n = 4x + r gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider gar keinen Ansatz. Unser aktuellen Thema sind Teilbarkeit, ggT, usw., insofern könnte ich mir schon vorstellen, dass es was mit Teilen mit Rest zu tun hat. Aber ich weiß gar nicht, wie ich an diese Art Beweis herangehe :(

Answer 1

Dividiere n ganzzahlig durch 4 mit Rest,

also n:4=y Rest s (s=0,1,2,3). Den Fall s=3 kann man

so manipulieren, dass \(n:4 = x\) Rest \(r (r=-1,0,1,2)\), z.B.

\(27:4=6\) Rest \(3\), d.h. \(27=4\cdot 6+3=4\cdot 7 -1\)

Comments

Ok, aber irgendetwas an den Voraussetzungen stimmt nicht, oder?

Z.B. die 1 lässt sich ja gar nicht in der Form 1=4x+r darstellen, das funktioniert alles erst ab n größergleich 3?

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Vielleicht steht in der Originalaufgabe, dass x eine ganze Zahl
sein soll ?

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Laut meinem Aufgabenblatt soll x aus N sein :/

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OK. Dann hat der Aufgabensteller Mist gebaut ;-)

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Ok, danke, dann schreib ich ihn mal an :D