Zahlentheorie. Beweisen: Aus T(x) = y folgt T(4x+1) = y, für jede ungerade Zahl x ∈ ℕ.

Question

Die Aufgabe lautet:

für y ∈ ℤ sei v₂(y) der Exponent der größten Potenz von 2, die y teilt.

Also v₂(8) = 3 (denn 8 = 2³), v₂(12) = 2 (denn 12 = 2³3). Für x ∈ ℕ, x ungerade, sei

$$ T(x)\quad =\frac { 3x\quad +\quad 1 }{ { 2 }^{ { { v }_{ 2 } }{ (3x\quad +\quad 1) } } }  $$

Beispiele: T(1) = 1, T(5) = 1, T(7) = 11

Zu zeigen: aus T(x) = y folgt T(4x+1) = y, für jede ungerade Zahl x ∈ ℕ.

Ich weiß gar nicht wie ich mit dieser Aufgabe beginnen soll. Bin um jeden Tipp dankbar.

Danke schon im Voraus.

Comments

EDIT.Klammer gemäss Kommentar ergänzt. 

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Ja die Klammer gehört bei T(4x+1) = y

Answer 1

> für y ∈ ℤ sei v₂(y) der Exponent der größten Potenz von 2, die y teilt.

Anders ausgedrückt v₂(y) gibt dir an, wie oft die 2 in der Primfaktorenzerlegung von y auftaucht.

> aus T(x) = y folgt T(4x+1) = y

Sei N(x) = 2^v₂(3x+1) der Nenner des Funktionsterms von T(x).

Es ist N(4x+1) = 2^{v₂(3(4x+1)+1)} = 2^v₂(12x+4) = 2^{v₂(4·(3x+1))}.

Beim Übergang von 3x+1 zu 4·(3x + 1) sind zwei zweien in der Primfaktorzerlegung hinzugekommen. Also ist 2^{v₂(4·(3x+1))} = 2^2+v₂(3x+1) = 2²·2^v₂(3x+1) = 4·2^v₂(3x+1).

Somit gilt N(4x+1) = 4·N(x).

Zeige dass für den Zähler Z(x) = 3x+1 ebenfalls Z(4x+1) = 4·Z(x) gilt.

Comments

Vor. x ungerade scheint nicht nötig, oder???

Answer 2

Es ist immer v₂(y) = 2 ^v₂(y)  * z   und 2 teilt nicht y

Sei nun x ungerade und x ∈ ℕ.

Dann ist nach Def. von v₂  :        3x+1  = 2 ^v₂(3x+1) * z   und  2 teilt nicht z.

also T(x) = (3x+1) / 2^v₂(3x+1)    = 2 ^v₂(3x+1) * z / 2^v₂(3x+1)    = z      #

T(4x+1) = (3(4x+1)+1) / 2^{v₂(3(4x+1)+1)}    = ( 12x+4 )  ) / 2^v₂(12x+4)    = 4* (3x+1) / 2^{v₂(4*(3x+1))}   

Nun ist aber  v₂(4*(3x+1))  = 2+ v₂(3x+1)   weil   4*(3x+1) den Primfaktor 2 genau 2-mal

mehr enthält als 3x+1.

Also  T(4x+1) =  4* (3x+1) / 2^{v₂(4*(3x+1))}    =  4* (3x+1) / 2^v₂(3x+1)+2

=   4* (3x+1) / ( 4*2^v₂(3x+1))   =   (3x+1) / 2^v₂(3x+1)   = T(x) ( siehe # ) .

Was mich noch etwas stutzig macht ist, dass die Vor.

x ungerade nicht benutzt wurde .Hab ich was übersehen ???