Kombinatorik: Eine Gruppe besteht aus 9 Jungen und 3 Mädchen. (...)

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine Frage zur einer Aufgabe, die schon einmal behandelt wurde.

Eine Gruppe besteht aus 9 Jungen und 3 Mädchen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn unter 4 ausgewählten Personen genau ein Mädchen sein soll?

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist: 252 Möglichkeiten. (3 über 1 ) * (9 über 3)

Meine Frage ist, wie ich erkenne, dass man hier nicht die Produktregel anwendet.

Genau ein Mädchen => 3 Möglichkeiten
Die restlichen 3 Plätze (nur Jungen) => 9 Möglichkeiten * 8 Möglichkeiten * 7 Möglichkeiten
Also: 3 * 9 * 7 * 6   (Ist falsch, aber warum ?)

Ist die Anwendung der Produktregel an zusätzliche Voraussetzungen gebunden ? Wieso darf ich sie hier nicht anwenden ?

Comments

Was verstehst Du denn unter Produktregel? Wie genau ist die "Produktregel" formuliert?

---

Hallo, ich meine das hier:

Produktregel der Kombinatorik:

Nacheinander soll eine bestimmte Anzahl von Entscheidungen getroffen werden. Bei jeder dieser Stufen steht eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten zur Auswahl.

Auf der 1. Stufe gibt es n1
Möglichkeiten, auf der 2. Stufe n2 Möglichkeiten, … (usw.) und auf der k. Stufe nk

Gesamtzahl der Möglichkeiten: n1⋅n2⋅…⋅nk

Als Beispiel:

Ein vierstelliges Wort (sinnvoll oder -los) aus MORGENS, das nur Konsonanten (hier 5) enthält:
Lösung: 5 * 4 * 3 * 2

---

Was er meint, ist das Fundamentalprinzip der Kombinatorik.

Oder wie ich es meist formuliere: "Entlang eines Pfades im Baumdiagramm werden die Möglichkeiten multipliziert."

Dieses Fundamentalprinzip gilt auch bei der Auswahl von 3 aus 9 Jungen. Allerdings wird dann die Reihenfolge mit berücksichtigt. Da sie aber egal ist muss nachträglich durch die Anzahl der Reihenfolgen wieder geteilt werden.

Beispiel. In der Oberstufe darfst/musst du aus 4 zusätzlich angebotenen Kursen (K1, K2, K3 und K4) 2 Kurse auswählen.

Dafür hast du 4 * 3 = 12 Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge wichtig ist. Ist sie hier aber nicht warum du nochmal durch 2! = 2 teilen musst. Du hast dann 12 / 2 = 6 Möglichkeiten. Z.B

1. K1 und K2
2. K1 und K3
3. K1 und K4
4. K2 und K3
5. K2 und K4
6. K3 und K4

---

@ Tom

Danke für Deine Antwort. Du siehst, dass in Deiner Formulierung Entscheidungen in einer bestimmten Reihenfolge abgezählt werden. Im Beispiel ist das nicht der Fall.

Aber MC hat das ja schon alles erklärt.

---

Hallo, danke für eure tollen Erklärungen. Ich habe es verstanden !

Vielen herzlichen Dank ! :-)

Answer 1

Eine Gruppe besteht aus 9 Jungen und 3 Mädchen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn unter 4 ausgewählten Personen genau ein Mädchen sein soll?

Wenn wir genau ein Mädchen wählen sollen, haben wir dafür 3 Möglichkeiten.

Wenn wir aus den 9 Jungen dann noch 3 wählen sollen, haben wir dafür (9 über 3) = 9*8*7/3! = 84 Möglichkeiten. Hier wird durch 3! geteilt weil die Reihenfolge der Jungen uninteressant ist. Wichtig ist doch nur ob ich einen Jungen wähle oder nicht.

Zusammen sind das also 3 * 84 = 252 Möglichkeiten.