Vektorrechung bei Bewegung eines Körpers

Question

Hallo, ich komme nicht so recht bei einer Physikaufgabe weiter, bzw. weiß nicht so wirklich, wie man überhaupt anfängt.
Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

Ein Körper bewege sich in der $x y$-Ebene und habe folgende Beschleunigung:
$\vec{a}=\left(\begin{array}{l} a_{x} \\ a_{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \cos (\omega t) \\ \sin (\omega t) \end{array}\right)$
mit $\omega=9,1$.
Nehmen Sie an, dass der Körper zur Zeit $t_{0}=0$ am Punkt $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ ist und die Anfangsgeschwindigkeit $\left(\begin{array}{c}v_{0} \\ 0\end{array}\right)$ hat.

a) Berechne vx(t) zur Zeit t = 1 s.

b) Berechne vy(t) zur Zeit t = 1 s.

c) Berechne x(t) zur Zeit t = 1 s.

d) Berechne y(t) zur Zeit t = 1 s.

Ich weiß nicht so recht, welche Formeln man wirklich nimmt und bin auch verwirrt darüber keinen Wert für v0 zu haben.
Bin auf jeden Fall ein wenig planlos und würde mich sehr über Hilfe freuen :]

Answer 1

Aloha :)

Uns ist folgende Situation bekannt:$$\vec a(t)=\binom{a_x}{a_y}=\binom{\cos\omega t}{\sin\omega t}\quad;\quad\vec r(t=0)=\binom{0}{0}\quad;\quad \vec v(t=0)=\binom{0}{0}$$

Die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung. Vektoren werden integriert, indem jede Komponente einzeln integriert wird:$$\vec v(t)=\int\vec a(t)\,dt=\int\binom{\cos\omega t}{\sin\omega t}\,dt=\binom{\frac1\omega\sin\omega t+C_x}{-\frac1\omega\cos\omega t+C_y}$$$$\phantom{\vec v(t)}=\binom{\frac1\omega\sin\omega t}{-\frac1\omega\cos\omega t}+\binom{C_x}{C_y}$$Die Integrationskonstanten $C_x$ und $C_y$ müssen wir so wählen, dass die Randbedungung $\vec v(t=0)=\binom{0}{0}$ erfüllt wird:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\binom{0}{-\frac1\omega}+\binom{C_x}{C_y}\implies\binom{C_x}{C_y}=\binom{0}{\frac1\omega}$$Das führt uns schließtlich zu der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$:$$\pink{\vec v(t)=}\binom{\frac1\omega\sin\omega t}{\frac1\omega-\frac1\omega\cos\omega t}=\pink{\frac1\omega\binom{\sin\omega t}{1-\cos\omega t}}$$

Der Ort ist das Integral der Geschwindigkeit:$$\vec r(t)=\frac1\omega\int\vec v(t)\,dt=\frac1\omega\int\binom{\sin\omega t}{1-\cos\omega t}dt=\frac1\omega\binom{-\frac1\omega\cos\omega t+C_x}{t-\frac1\omega\sin\omega t+C_y}$$$$\phantom{\vec r(t)}=\frac1\omega\binom{-\frac1\omega\cos\omega t}{t-\frac1\omega\sin\omega t}+\frac1\omega\binom{C_x}{C_y}$$Die Integrationskonstanten $C_x$ und $C_y$ sind wieder so zu wählen, dass die Anfangsbedingung $\vec r(t=0)=\binom{0}{0}$ erfüllt wird:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\frac1\omega\binom{-\frac1\omega}{0}+\frac1\omega\binom{C_x}{C_y}\implies\binom{C_x}{C_y}=\binom{\frac1\omega}{0}$$Das führt uns auf den Ort zum Zeitpunkt $t$:$$\pink{\vec r(t)=}\frac1\omega\binom{\frac1\omega-\frac1\omega\cos\omega t}{t-\frac{1}{\omega}\sin\omega t}=\pink{\frac{1}{\omega^2}\binom{1-\cos\omega t}{\omega t-\sin\omega t}}$$

Comments

Vielen vielen dank erstmal :]
Rechne ich dann, wenn ich nur vx(t) will, nur den Teil des Vektors für die x-Koordinate, also $\frac{1}{ω}$sinωt aus?

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Ja, du kannst die x-Koordinate und die y-Koordinate der Vektoren natürlich auch einzeln berechnen. Sie sind unabhängig voneinander, weil jede Komponente ihre eigne Beschleunigung hat. Die Vektorschreibweise ist aber oft platzsparender und übersichtlicher.

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Ah ok vielen Dank,
ich hätte nur noch zwei weitere Fragen, ist es ok für v0 dann einfach 0 anzunehmen?
Und muss man, wenn man nun das alles für t=1s berechnen will, die Integrationskonstanten anpassen, also einmal bei vx(t=1)=$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$ und bei vy(t=1)=$\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ ?

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Die Integrationskonstanten sind duch die Anfangsbedingungen bestimmt. Würdest du die Integrationskonstanten verändern, würden die Anfangsbedingungen verletzt. Daher kannst du sie nicht beliebig ändern.

zum Zeitpunkt $t=1$ erhältst du:$$\vec v(t=1)=\binom{\frac1\omega\sin\omega}{\frac{1}{\omega}(1-\cos\omega)}\quad;\quad\vec r(t=1)=\binom{\frac{1}{\omega^2}(1-\cos\omega)}{\frac{1}{\omega}-\frac{1}{\omega^2}\sin\omega}$$

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Ah ok verstehe. Ich hab es jetzt alles mal ausgerechnet, die Werte sind zwar sehr klein, für vx(1) habe ich zB 0,01738, aber ich denke das wird schon so gewollt sein.
Vielen Dank nochmal für die viele Hilfe :]

Answer 2

Hallo

v0 ist einfach ein Parameter, der sagt, dass sich der Punkt bei t=0 nur in x Richtung bewegt.

aus a_x=v_x'  rechnest du vx durch integrieren aus, die Integrationskonstante dann aus v(0)

entsprechend v_y, und die 2 integriert dann s_x und s_y

alle Werte hängen halt von v0 ab, falls da nirgends ein Wert steht.

steht da wirklich $\omega=9,1$ und nicht $\omega=9,1 1/s$

Gruß lul

Comments

Ja da steht nur 9,1. Das Bild ist ein direkter Screenshot meiner Aufgabe.

Welche Formel nutzt man denn hier für das Integrieren?

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Hallo

Tschaka hat in ihrer Rechnung v0=0 gesetzt, das kannst du nicht einfach annehmen  auch nicht vx(0)=1 du musst einfach v und r in Abhängigkeit von v0 angeben oder die dir gegebene Zahl einsetzen.

lul